§03-4圆轴扭转

PC 6 TC 9550 9550 114.6 N m n 500
TA
A
TB B
TC
C x
2、计算扭矩： AB段： Mn1设为正的
M
X
0 M n1 TA 0
TA Mn1
x
Mn2
Tc
M n1 TA 76.4 N m
BC段： Mn2设为正的
M
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0
Mn2 114 6 N m .
结论：
圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力
τ，而无正应力σ。 各截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切
A
C
A B

C
t
B D
t´
D
2．切应力分布规律
可推导出切应力分
布规律： 圆轴扭转时横 截面上任一点的切 应力大小与该点到 圆心的距离成正比， 并垂直于半径方向 呈线性分布.
Mn
max）切应力为最大。
扭矩和切应力的关系：
微面积dA上内力对o 点的矩:
Mn
dM =ρτρdA
整个截面上的微内力 矩的合力矩应该等于 扭矩
切应力计算公式
M T—横截面上的扭矩 （N.mm）
Mn t Ip
M nR t max Ip
—欲求应力的点到
M Pa
圆心的距离（mm）
B
D
PA TA 9550 1592N m n PB TB 9550 477.5 N m n PD TD 9550 637N m n
2、计算各截面的扭矩 TB TC
TA
2 3 Mn3 Mn2 955
3、画扭矩图： Mnmax=955N· m
1-1截面 Mn1=TB 1 C =477.5N.m TB B 2- 2截面 Mn2-TB-TC=0 Mn1 Mn2=TB+TC TB TC =955N.m 3-3截面 Mn3=-TD =-637N.m Mn 477.5
1分钟T 作功：W T
T 2n 1 2nT
W W'
N m
单位
2、扭矩
扭矩——扭转轴的内力是作用面与横截面重合 的一个力偶，称为扭矩Mn。 扭矩计算：利用截面法，并建立平衡方程得到 T T m X
T
m
Mn
M
X
0 Mn T 0
Mn T
t AB max
Mn
M n AB 5 106 48.83MPa 3 W AB 0.2 80
t BC max
M n BC 1.8 106 72MPa 3 WBC 0.2 50
2、求C截面相对A截面的扭转角 M n AB LAB 5 103 200 103 BA GI pAB 80 109 0.1 80 10 3
τmax τ
τ
τmax
切应力分布 规律表达式：
t t max max R
半径，
M n
R
式中： 为截面上任一点的半径，

τmax为最大半径处的切应力。 因此有：圆心处（即 =0）τ=0，圆轴表面处
（ =
=R，τ为半径为 处的切应力， max
为截面最大 max
t G
剪切弹性模量
例７：
T1=5kNm;T2=3.2kNm;T3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm, dAB=80mm,dBC=50mm,G=80GPa T1 T2 T3 1、求此轴的最大切应力
2、C截面相对于A截面的扭转角CA； 3、相对扭转角AB、 BC；
解：1、各截面扭矩： MnAB=T1=-5kN.m; MnBC=T3=-1.8kN.m 2、计算最大切应力

rad
单位长度扭转角θ:
Mn rad/m L GI p
ψ大小与Ｌ有关，为消除Ｌ的 影响，工程上用“单位长度扭 转角θ”来表示其变形。
180 Mn GIP
剪切虎克定律：
在剪应力的作用下，单元体的直角将 发生微小的改变，这个改变量 称为剪 应变。


当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应 力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎 克定律。
平面截面假设：
圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、
推断：
形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面 半径仍为直线。
横截面上各点无轴向变形，故横截面上没
有正应力σ。 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动， 故横截面上有切应力τ存在。 各横截面半径不变，所以切应力方向与截 面半径方向垂直。
3、画扭矩图 将扭转轴的扭矩沿截面的分布规律用图形表示
TA A
TB B TC
C x
Mn
76.4Nm
+
-114.6Nm
x
例２ 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分 别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴 扭矩图。 TB TA TC TD 1、计算 外力偶矩 1 2 C A 3
1
B
2
C
n 3 D
T2 m2 m3 0 , T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图
m2
m3
m1
m4
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
两个相距dx的横截面绕轴线 的相对角位移，即相对扭转 角d: 相距L的两个横截面间相 对扭转角可用积分求得：
长度为L的等截面圆轴，扭 矩为 Ｍn，该两截面的相 对扭转角为:
Mn d dx GI p
rad
d Mn dx l 0 GI P
l
rad
Mn L GI p
1146
例４
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘
制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
P 500 1 m1 9.55 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
n
Wp=
d 3
空心 D ( 1- 4 ) W = ( 1- 4 ) p 圆截 Ip＝ 32 16 面 =d / D =d / D
其中d为圆截面直径，d、D为空心圆截面内外径。
D 3
例６：如图所示,已知M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa。求此轴 的最大切应力。
圆轴扭转时的变形
扭转角ψ——变形时圆轴上任意两截面相对转过的角 度.
Mn L GI p
•Ｇ为轴材料的切变模量（ＭPa）；而ＧＩP称为抗扭刚度，
反映了圆轴的材料和横截面尺寸两个方面因素抵抗扭转变 形的能力；ψ单位弧度（rad）。 •当两截面之间的扭矩、直径有变化时，需分段计算各段的 扭转角，然后求其代数和。扭转角的正负号与扭矩相同。
350N.m MT
M3 M1
M2 446N.m x
700N.m
对于同一根轴来说， 若把主动轮A安置在 Ｍｎ M 轴的一端，例如放 B 在右端，则该轴的 (Nm) 扭矩图为： 350
M
A
M
C
M
D
x
700
结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置 不同，轴所承受的最大扭矩(内力)也就不同。 显然，这种布局是不合理的。
一.圆轴扭转的概念
4.扭转变形
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角 位移。 剪应变（）：直角的改变量。
A m

O B m
二、外力偶矩、扭矩、扭矩图
1、外力偶矩（T）
输入功率：P(kW)
T 转速：n (转/分)
T
1分钟输入功： W
60 P 1000 60000 P
P T 9550 n
I p—截面对圆心的极 惯性（mm 4）。
当 ＝ max 时，t ＝ t max，计算公式如下：
= Wp
Mn
M Pa
3
W p为抗扭截面系数( mm )
（二）截面极惯性矩抗扭截面系数的计算
截面 形状
截面极惯性矩
抗扭截面系数
实心 圆截 面
Ip＝ 32 Ip~0.1d4
4
d
4
16 Wp~0.2d3
例1 .传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动 轮B输入功率PB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率为 PA= 4KW ， PC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
解：
1、计算外力偶矩
TA
A
TB B
TC
C x
PA 4 TA 9550 9550 76.4 N m n 500 PB 10 TB 9550 9550 191N m n 500
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为 BC,CA,AD段轴的扭矩。
M1+ MB= 0 M 1 = -M B =-350N.m M B + M C + M 2 =0 M 2 =-M B -M C =-700N.m M D -M 3 = 0 M 3 = M D = 446N.m
3)画扭矩图：
解： 求AB、BC段扭矩 MAB= -5kN.m MBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
t AB max
M AB 5 10 48.83MPa 3 WAB 0.2 80
6
6
t BC max
M BC 1.8 10 72MPa 3 WBC 0.2 50
TD
X
A
D TD
X
-637
例３：主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转 速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩， 并做出扭矩图。
解：1)由外力偶矩 的计算公式求个轮 的力偶矩：
M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m M D = 9550 PD/n = 446 N.m
B C D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
m2
②求扭矩（扭矩按正方向设）
1
m3
2
m1
3
m4
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m A
n
A
B
C

D
6.37
T
– 4.78 – 9.56
x
三、圆轴扭转时的应力和变形
（一）圆轴扭转时横截面上的应力
1．扭转试验
等直圆轴试件，在圆轴表面画上若干平行于轴线的 纵向线和垂直于轴线的圆周线，然后在圆轴两端分 别作用一外力偶Ｔ，使圆轴发生扭转变形：
扭转变形特点：
各圆周线形状、大 小以及圆周线间距 离未改变，只绕轴 线转过了一定的角 度； 各纵向线都倾斜了 同一角度γ，使圆轴 表面的小方格变成 了菱形。
引子:工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
第四节 圆轴扭转
主要内容:
1.圆轴扭转的概念 2.扭转内力:扭矩和扭矩图 3.扭转切应力分析与计算 4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
一.圆轴扭转的概念
1.工程中发生扭转变形的构件 2.扭转变形的特点： 受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内， 作用 了一对大小相等，转向相反，且在垂直与轴线 平面内的外力偶矩. 变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件 轴线的相对转动。 3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）
上图中，以右段为研究对象，则结果一样： T m T X
m Mn´ T
M X 0 M n T 0
Mn T

扭矩Ｍn、Ｍn′大小相等、方向相反，是作用力与 反作用力关系。
扭矩正负号的规定
用右手螺旋定则判断：右手四指绕向表示扭矩绕 轴线方向，则大拇指指向与截面外法线方向一致 时扭矩为正，反之扭矩为负。同一截面的扭矩符 号是一致的。 T Mn（-） 外力偶矩正负号的规定 X 和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正， 反向为负 T
外法线方向
X 外法线方向
Mn´(+)
用右手螺旋定则判断扭矩正负号：
Ｍn(+) Ｍn(+)
右截面
左截面
Ｍn(-)
Ｍn(-)
2、扭矩图
当轴上作用有两个以上外力偶时，则轴上各段的
扭矩Mn的大小和方向有所不同。可用扭矩图来形象 地表达出轴上各截面的扭矩大小和符号的变化情况； 扭矩图画法：以横轴表示轴上截面的位置，纵轴表 示扭矩大小，正扭矩画在纵轴正向，负扭矩画在负 向。 根据扭矩图可清楚地看出轴上扭矩随截面的变化规 律，便于分析轴上的危险截面，以便进行强度计算。