固体物理第一二章习题解答
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第一章习题
1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和
配位数。
(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。解：
名称分子式结构惯用元胞
布拉菲
格子初基元胞
中原子数
惯用元胞
中原子数
配位数
氯化钾KCl NaCl结构fcc 2 8 6 氯化钛TiCl CsCl结构sc 2 2 8 硅Si 金刚石fcc 2 8 4 砷化镓GaAs 闪锌矿fcc 2 8 4 碳化硅SiC 闪锌矿fcc 2 8 4
钽酸锂
LiTaO 3
钙钛矿
sc
5
5
2、6、12
O 、Ta 、Li
铍
Be
hcp
简单
六角
2
6
12
钼 Mo bcc
bcc 1 2 8
铂 Pt fcc
fcc 1 4 12
2. 试证明：理想六角密堆积结构的
1
2
8 1.6333c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭。如果实际的c
a
值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：2
1
2
243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a d 。
当d =a 时构成理想密堆积结构，此时有：2
1
2
2
43⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=c a a ，
由此解出：633.1382
1
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=a c 。
若
633.1>a
c
时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。
3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。 解：
4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基
原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？
解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标
系中，在1a 、2a 、3a 三个基矢坐标上的截距为
(
)
2,,2∞，则晶面
指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a 、2a 、
3a 上的截距为
(
)
∞,2,2，则晶面指数为（110）。
5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于
上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：
晶面指数 原子数面密度
面间距
对称轴 （100）
22
a
a
C 4
（110）
2
4.1a a 22 C 2
（111） 23.2a
a 3
3 C 3
6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：132a a i j →→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r ，232a a i j →→→⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，k c c =。求
其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。
解：由倒格基失的定义，可计算得：Ω⨯=→
→→
3212a a b π=
a π2)3
1(→
→+j i ，
→
→
→
→
→
+
-
=
Ω
⨯
=j
i
a
a
a
b)
3
1
(
2
2
1
3
2
π
π
，
→
→
→
→
=
Ω
⨯
=k
c
a
a
b
π
π2
2
2
1
3
（未在图中画出）正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示
（1）由
→
→
2
1
b
b、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特征。
（2）由
→
→
2
1
a
a、构成的二维正初基原胞，与由
→
→
2
1
b
b、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。
7.用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。
证明：由倒格矢的性质，倒格矢
→
→
→
→
+
+
=
3
2
1
b l
b
k
b
h
G hkl垂直于晶面（hkl）。由晶向指数[hkl]，晶向可用矢
量表示，则：
→
→
→
+
+
=
3
2
1
a l
a
k
a
h。
倒格子基矢的定义：
Ω
⨯
=
→
→
→)
(
2
3
2
1
a
a
b
π
；
Ω
⨯
=
→
→
→)
(
2
1
3
2
a
a
b
π
；
Ω
⨯
=
→
→
→)
(
2
2
1
3
a
a
b
π
在立方晶系中，可取
→
→
→
3
2
1
a
a
a、
、3
1a
a
a=
=，则可得知1b
b
b， ，3
1
b
b
b=
=m
a
b
i
i
=（为常值，且有量纲，即不为纯数），
则A
m
a l
a
k
a
h
m
G hkl）＝
3
2
1
(+
+
=
→
→
→
，即hkl与平行;也即晶向[hkl] 垂直于晶面（hkl）
8.考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a) 倒格矢123
h
G hb kb lb
=++
u r r r r
垂直于这个晶面；(b) 晶格中相