数模作业

在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。

解：

1、分析题目

商品的价格主要表现出因重量变化而变化的特点，一般是随着重量的增加而增加，但仔细分析题目中价格与重量的关系可知，两者并不是呈简单的线性关系。

商品的价格由成本和利润相加而得（价格=成本+利润）。商品的成本一般包括生产成本、包装成本、其他成本等。所以我们得出：

商品价格 = 生产成本+ 包装成本+ 其他成本+ 利润

2、模型假设

（1）单位重量商品的劳动力是等价的；

（2）不同大小重量的商品的包装材料是无差别的；

（3）商品的利润与商品的重量呈线性关系；

3、模型建立

单位重量价格：X

商品包装面积：S

商品重量：W

商品总成本：C

生产成本：1C

包装成本：2C

其它成本：3C

商品利润：C4

（1）成产成本C1与重量W成正比，可令C1=a1*W；

（2）包装成本C2与商品表面积成正比，可令C2=a2*S，形状一定时一般有S W2/3，可令S=a3*W2/3，因此有C2=a2*a3*W2/3 ；

（3）其他成本C4为固定常数；

（4）利润C5与重量成正比，可令C5=a5*W；

因此价格可表示为：C= C1 + C2+ C3 + C4 + C5

= a1*W + a2*a3*W2/3 + a4*W + C4 + a5*W

= (a1+a4+a5)*W + a2*a3*W2/3 + C4

为了便于计算我们,令：α = a1+a4+a5；β = a2*a3；γ = C4

此时商品总价格：C=α W+β W2/3+γ （其中α 、β 、γ 为大于0 的常数）

4、模型分析

（1）商品价格与商品重量的关系即为C=α W+β W2/3+γ ，随着商品重量的增加，商品价格也会增加。

（2）单位商品价格： c=α +β+γ

（3）c(W)函数的一阶导数

由单位商品价格c 的一阶导数看出，c< 0 恒成立。这表示以重量为自变量的

单价函数为减函数，即单价随商品的重量增加而减少。当W 很大时，c→0，这时c 不再减小。

（4）c(W)函数的二阶导数

由商品单位价格c 的二阶导数看出，c> 0 恒成立。这表示单价的减少速度随着重量的增加而变小。

X

W