曲边梯形的面积及定积分定义(精)

f ( )x
i 1 i
i
．
ba S lim f ( i ) n n i 1
n
（类似方法求汽车行驶的路程）
如果函数f ( x)在区间[a, b]上连续，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b
将区间[a, b]等分成n个小区间，在每个小区间 [ xi1 , xi ]上任取一点i (i 1,2,, n), 作和式 ba f (i )x f (i ) n i 1 i 1
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
演示
O
1
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (1 )x1 f (2 )x2 f (3 )x3 f (n )xn
分割 近似代替 求和 取极限
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ··· , n)． •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f ( x) y f ( i)
f(2 ) f(1) f(i)xi
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
1.5.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
n n
当n 时，上述和式无限接近某个常数， 这个常数叫做函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分， 记作 f ( x)dx,即
a b

b
a
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
这里，a和b分别叫做积分下限和 积分上限。区间[a, b]叫做积分区间， 函数f ( x)叫做被积函数，x叫做积分变量， f ( x)dx叫做被积式。
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
i i 1 1 每个区间的长度为 x n n n 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
Sn Si '
i 1
n
i -1 1 n i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n
n
（4）取极限
当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 1 1 所以S lim S n lim (1 )(1 ) ， n 2n 3 x 0 x 0 3 1 即所求曲边三角形的面 积为 。 3
3 2 0 3
(2) (8 x 21x 12 x 15)dx
3 3 0
3
作 业
回家好好复习总结！
同学们再见！
O
a 1 x1 2 x2
xi-1 i xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取i [xi1，xi ] ，以f ( i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f ( )x
i 1 i
n
i
．
分割
近似代换
n
求和
取极限
•曲边梯形的面积近似为：
(1)分割
3
在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小 区间：
i 1 i 记第i个区间为[ , ](i 1,2,, n), n n
i i 1 1 其长度为x n n n
(2)近似代替、作和
i 取i (i 1,2,, n), 则 n n n 1 i i 31 3 x dx S f ( ) x ( ) n 0 n n i 1 i 1 n
1 3
求（ 1 ） 3x dx
3 0
2
(2) 6 x dx
2 1
4
(3) (3 x 2 x )dx
2 3 1
2
9 已知 dx 3, xdx , 0 0 2 3 3 81 2 3 0 x dx 9,0 x dx 4 ,
3 3
求 (1) (4 x 3x 6 x 8)dx
a a b b
（2） [ f1( x) f2 ( x)]dx f1( x)dx f2 ( x)dx
a a a
b
b
b
（3） f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
b
c
b
(其中a c b)
1 2 3 15 例2 已知 x dx , x dx , 0 4 1 4 2 7 4 2 56 2 x dx , x dx , 1 3 2 3
定积分 f ( x)dx 的几何意义：
a
b
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,
那么定积分 f ( x)dx 表示
a b
由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)
所围成的曲边梯形的面积。
例1 利用定积分的定义，计算 x dx的值。
3 0
1
解：令f ( x) x
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
S1 , S2 , , Si , , Sn .则S Si
i 1
n
（2） 近似代替
i 1 i 1 2 1 Si Si ' f ( )x ( ) n n n （3）求和
1 1 2 1 n 3 2 4 i 4 n (n 1) n 4 n i 1 1 1 2 (1 ) 4 n
（2）取极限
x dx lim S
3 0 n
1
n
1 1 2 1 lim (1 ) n 4 n 4
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定积分的性质:
（ 1 ） kf ( x)dx k f ( x)dx(k为常数)