八年级数学上册 分式综合应用(习题及答案)

分式综合应用（习题）

例题示范

例1：已知关于x 的方程

223242

ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【思路分析】

分式方程无解包括两部分：第一，分式方程化为整式方程，整式方程的解是原分式方程的增根；第二，分式方程化为整式方程，整式方程无解．

【过程书写】

2(2)3(2)

2436

(1)10x ax x x ax x a x ++=-++=--=-解：

（1）当a -1≠0，即a ≠1时

10

1x a =--

∵原分式方程无解 ∴10

1x a =--是原分式方程的增根 ∴10

10

2211a a -=-=---或

∴a =-4或a =6

（2）当a -1=0，即

a =1时

0=-10，不成立 此时原分式方程无解

综上，a 的值为1，-4或6

巩固练习

1. 化简下列分式．

1(3)(6)x x ++++…

221156712a a a a ++-+-+

2. 下列关于x 的分式方程无解，求m 的值．

132x x

-+=--；

（2）33m x x

=-；

（3）2213m x x x

+-=-．

3. 若113x y -=，则2322x xy y x xy y

+-=--_________．

4. 若2

310x x -+=，则2

421

x x x ++的值为_________．

5. 若a 为正实数，且15a a -=，则221a a

-=_________．

6. 若53m n =，则222m m n m n m n m n

+-=+--_________． 【思路分析】

①观察已知和所求，发现已知条件为连比的形式，考虑_____________． ②设________________，

∴m =____________，n =____________，

∴原式=

7. 分式224321

x x -++的最大值是_________． 【思路分析】

①由已知条件求分式最大值，考虑_____________．

②原式=

③取值说理：

因为______________，所以___________的最小值是______；

所以___________的最大值是______；所以分式

2

2

43 21

x

x

-+

+

的

最大值是_________．

8.若分式

223

2

x x

x

++

+

的值为整数，则整数x的值为_________．

【思路分析】

①由已知条件求分式的值为整数，考虑_____________．

②原式=

③取值说理：

∵分式

223

2

x x

x

++

+

的值为整数，且x为整数，

∴x+2能整除_______，

∴x+2=____________，

∴x=_________________．

思考小结

类比

学习分式时，我们注意将分式与分数进行类比，通过回忆分数的有关知识来探索、发现、建立分式的新知识．

鲁班由小茅草割破手发明了锯，维也纳医生奥恩布鲁格由父亲敲击酒桶判断酒的多少发明了扣诊法，仿生学利用生物的结构和功能原理来研制机械或各种新技术．这些平凡而伟大的创意都源自类比．

什么是类比呢？数学家、数学教育家波利亚说过：“类比就是一种相似．”

具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能（并非必定）推出它们在其他某些性质上的类似．

这种推理形式的结构可以表示如下：

对象A有性质P，Q，R，…，X

对象B有性质P，Q，R，…

推测（猜想）：B可能也有性质X

就拿分数和分式来说吧．从表示形式和意义来看，分数的形式是a

b

（a，b是

整数，b≠0），它表示两个整数的商；分式的形式是A

B

（A，B是整式，B≠0），

它表示两个整式的商．

从基本性质来看，分数的分子、分母同乘以一个不等于零的数，分数的大小不变，它是分数约分和通分的依据；分式也有类似的基本性质，它是分式约分和通分的依据．

其他方面，从约分、通分到运算，甚至是最简分式与最简分数（既约分数）的概念，分式与分数都十分相似！

类比是我们学习数学的一种有效方法，我们还可以举出许多例子．如学习整式时，常常可以和整数类比．两个整数的和、差、积都是整数，但两个整数的商却未必是整数，从而需要引进分数；类似地，两个整式的和、差、积都是整式，但两个整式的商未必是整式，从而需要引进分式．整式的因式分解可以与整数的因数分解类比，等等．

类比能揭示自然界的奥秘，它是数学发现的重要方法．但类比不具有证明的力量．由类比得到的结论可能成立，也可能不成立，需要进一步研究，加以证明或反驳．

科学家将火星与地球作了类比，发现火星有很多与地球类似之处：火星是行星，绕太阳运行，绕轴自转；火星上有大气层，空气成分很类似，一年中有四季的变更；火星上有水，大部分时间的温度适合地球上某些生物的生存．地球上有生命存在，科学家推测：火星上也可能有生命存在！但事实究竟怎样，需要进一步的科学考证．

在数学学习时理解这一点也很重要．例如，学习一元一次不等式，它的解法、步骤与解一元一次方程非常相似．不等式与等式的性质也有类似的地方，但是不能全盘照搬，特别是不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变，在运用类比时应该引起注意．