平面向量专题复习(含答案)
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平面向量专题复习(含答案)
1.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于( )
A .b a 2
32
1
+-
B .b a 2321-
C .b a 2
123-
D .b a 2
123+-
2.若取两个互相垂直的单位向量 i , j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b 的数量积等于( )A .–45 B .45 C .–1 D .1
3. O 是ΔABC 所在的平面内的一点,且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0,则ΔABC 的形状一定
为( )A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .斜三角形 4.下面的四个命题:①||||||b a b a =⋅;②2
2
2)(b a b a ⋅=⋅;③若c a b a c b a ⋅=⋅-⊥则)(; ④若||||0b a b a b a -=+=⋅则。其中真命题是( )A .①② B .③④C .①③D .②④ 5.将抛物线742++=x x y 的图象按向量a 平移,使其顶点与坐标原点重合,则a =( )
A .(2,-3)
B .(-2,-3)
C .(-2,3)
D .(2,3)
6.下列四个命题,其中正确的个数有( )
①对于实数m 和向量b m a m b a m b a -=-)(,,恒有;②对于实数m, n 和向量a n a m a n m a -=-)(,恒有; ③若b a R m b m a m =∈=则有),(。④若n m a R n m a n a m =≠∈=则有,0,,(。A .1个B .2个 C .3个D .4个 7.已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且,则向量a 在向量b 上的投影为( ) A .
5
12
B . 3
C .4
D .5
8.已知向量OM =(3,-2),ON =(-5,-1),则MN 2
1等于( )
A .(8,1)
B .(-8,1)
C .(4,-21)
D .(-4,2
1
) 9.已知|p |=22,|q |=3,p ,q 的夹角为
4
π
,则以a =5p +2q ,b =p -3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )A .15 B .15 C .14 D .16
10.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则a ·b 等于( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2
11.若|a |=|b |=1,a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直,则实数k 的值为( ) A .-6 B .6 C .-3 D .3 12.设a 、b 、c 为平面向量,下面的命题中:
①a ·(b -c )=a ·b -a ·c ;②(a ·b )·c =a ·(b ·c );③(a -b )2=|a |2-2|a |·|b |+|b |2; ④若a ·b =0,则a=0或b=0。正确的个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .0
13.已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =-18的向量a =_______. 14.设a =(m +1)i -3j ,b =i +(m -1)j ,(a +b ) ⊥(a -b ), 则m =___ ___.
15.若AB ·
BC +2
AB = 0,则ΔABC 的形状为 。 16.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移,得到22x y =的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4, 则b = 。
17.已知向量a =e 1-e 2,b =4 e 1+3 e 2,其中e 1=(1,0),e 2=(0,1)。
(Ⅰ)试计算a ·b 及|a + b |的值; (Ⅱ)求向量a 与b 的夹角的大小。
18.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(Ⅰ)求证:(a -b )⊥c ; (Ⅱ)若|k a +b +c |>1(k ∈R ),求k 的取值范围.
19.已知f (A,B )=22cos 2sin 32cos 2sin 2
2
+--+B A B A 。
(Ⅰ)设A 、B 、C 为ΔABC 内角,当f (A , B )取得最小值是,求∠C ; (Ⅱ)当A+B =2
π
且A 、B ∈R 时,y =f (A , B )的图象通过向量p 的平移得到函数y =2cos2A 的图象,求向量p 。
20.平面直角坐标系内有点P (1,cos x ),Q (cos x ,1),]4
,4[π
π-
∈x 。
(Ⅰ)求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); (Ⅱ)求θ的最值。
21.已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k a |,其中k >0。
(Ⅰ)用k 表示a ·b ;(Ⅱ)求a ·b 的最小值,并求此时a 与b 的夹角θ的大小。
22.已知:a 、b 、c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2)
(Ⅰ)若|c |52=,且a c //,求c 的坐标; (Ⅱ)若|b |=,2
5
且b a 2+与b a -垂直,求a 与b 的夹角θ.