第1课矩阵的初等变换

定义 设 A (a ij ) mn , B (bij ) pq ，如果
m p, n q
(此时称A与B是同型矩阵) 且
a ij bij ( i 1, , m; j 1, , n)
则称 源自文库 与 B 相等，记作 A = B。
0 0 0 0 0 问： 0 0 与 0 0 0 相等吗？
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
行最简阶梯形 (1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为1, 且其所在列其它元素全为零。
定理 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形， 从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯
一。书P6 定理1.1.1 例1
的m 行n列的数表
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn
为表示它是一个 称为m行n列矩阵, 简称 m n 矩阵。 整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。
a ij 称为矩阵A的第 i 行第 j 列的元素 , 简称( i , j )元素。
1 2 -1 -1 1 -2 1 1 4 - 6 2 -2 3 6 -9 7 2 4 4 9
r1 r2
1r 2 3 1r 2 2
1 -2 1 1 1 2 -1 -1 2 - 3 1 -1 3 6 -9 7
kri
ri krj
逆变换
1 ri k
ri - kr j
逆变换
初等列变换也有类似的结果…
定义 行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简 形就是所谓的最简单的“代表”) 行阶梯形矩阵
书P5 定义4
1 0 0 0
1 2 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
定义
称矩阵的下面三种变换为初等行变换 (1) 交换矩阵的某两行，记为 ri r j (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri
(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上， 记为 ri k r j 类似定义三种初等列变换
(1) c i c j ( 2) kc i ( k 0) ( 3) c i kc j
1 -1 1 3 3 1 1 7
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7

4r2
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
第i行的k倍加到第j行记为rjkri。
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
3 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
（1）台阶左下方元素全为零； 行阶梯形矩阵： （2）每个台阶上只有一行；
（3）每个台阶上第一个元素不为零。 行最简阶梯形矩阵
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。 (6) 矩阵 (约定未写出元素全为零)
1 1 E 1
称为单位矩阵。
(7) 矩阵
1 D
2
n
称为对角矩阵。记作 D diag(1 , 2 ,, n )
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
矩阵的初等变换举例
1 5 -1 1 -2 1 3 8 -1 1 -9 3 -1 3 1 7

r 2 r 4
1 5 -1 1 -9 3 3 8 -1 1 -2 1
-1 7 1 3
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7

c1c3
-1 5 1 -2 -1 8 3 -9

r3-3r1
1 5 1 -2 0 -7 1 -9
1 5 1- 2 3 8 1 -9
-1 -1 1 3 2 4 3 7
0 -1 2 3 2 1 4 7

c3+c1
三种初等变换都是可逆的。 注：矩阵间的初等变换不能用等号

初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri r j
逆变换
ri r j
为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念 这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具
线性代数这门课程有两大作用
1、掌握几种重要的数学概念、方法 2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力
参考资料
胡建华 ： 线性代数解题指导 同济大学《线性代数》及配套辅导书） 考研复习资料(华中科技大、清华等）
定义 由m n个数a ij ( i 1， 2， , m；j 1， 2， , n)排成
阵或 n 阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵
A a1 , a2 ,, an
称为行矩阵或 n 维行向量。ai 称为A的第 i 个分量。 (4) 只有一列的矩阵
a1 a2 A a m
称为列矩阵或 m 维列向量。 ai 称为A的第 i 个分量。
矩阵 A 可简记为 A (a ij ) mn 或 A (a ij ) 或 Amn。
实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 例如：
是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
(1) 1×1的矩阵就是一个数。 (2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方
线 性 代 数
线性代数课程简介
初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解 线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1 a 21x1 a 22 x 2 a 2n xn b 2 am1x1 am2 x 2 amn xn bm