初中数学八年级上册 练习题(含答案)

基础模型: △ABC 中, AD 是BC 边中线

思路1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE

思路2：间接倍长,延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN

思路3, 作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E

1．如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（ ）

A ．1＜A

B ＜29 B ．4＜AB ＜24

C ．5＜AB ＜19

D ．9＜AB ＜19

2．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE ．

D A B C E

D A B F

E D

B A N

D B

A

M

3．如图，在△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD．

4．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）

（2）AD的取值范围是

小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF的长．

5．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．

6．已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．

7-10,换汤不换药(多题一解)

7．如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．

求证：∠C=∠BAE．

8．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B=60°，求∠C的值；

（2）求证：AD是∠EAC的平分线．

9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE．

10．已知，如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：CE=2CD．

11．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE．

12．如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△

QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；(图3是原题的第2问)

13．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线．

14．如图，已知在△ABC中，∠CAE=∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．

（1）求证：AC=BD；

（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x的取值范围．

15．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2AD．

1.解：如图，延长AD至E，使DE=AD，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，

∵AD=7，∴AE=7+7=14，

∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，

2．证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；

3．证明：

4．解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．

在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）．

（2）∵△BED≌△CAD，∴BE=AC=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，

∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6．

解决问题：如图3中，

解：延长GE交CB的延长线于M．

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE=∠M，

在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE=EM，AG=BM=2，

∵EF⊥MG，∴FG=FM，

∵BF=4，∴MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．

5．证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．

∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC=DB，

在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴∠CAD=∠G，BG=AC

又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，

∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，

即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．

6．证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．

∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．

∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．7．证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE=ED，

在△ABE与△FDE中

∵，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，

∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，

∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，

∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，

∵AB=DC，∴DF=DC，

在△ADF与△ADC中

∵，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．