行列式的性质与计算

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an1 an2 ann
第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik)
6、推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面.
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1.2-1.3 性质和计算
7、推论2 行列式中如果有两行(列)元素成 比例,则此行列式为零.
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
r2r1 r45r1
1 3 1 2
0 8 02
4 6 1 1
r2r3
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 6 0 16 2 7
r34r2 r48r2
1 0 0
3 2 0
1 2 1 1 8 10
r454r3
1 0 0
3 2 0
1 2 1 1 40 8 10
0 0 10 15
0 0 0 5/2
1.2-1.3 性质和计算
1、记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21 a22
a2n DT a12 a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
2、性质1 行列式与它的转置行列式相等 (行列互换,行列式不变)
3 1 1 2
例1 计算 D 5
2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
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3 1 1 2
例1 计算 D
5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1.2-1.3 性质和计算
3 1 1 2
1 3 1 2
解 D 5 1 20
3 4 1 1
c1c2
1 5 02
3 4 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
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1.2-1.3 性质和计算
知识回顾
1 二阶与三阶行列式的计算 2 计算排列逆序数. 3 n阶行列式的定义. 4 三角行列式的计算.
对角线法则
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1.2-1.3 性质和计算
上(下)三角行列式
a11 a12 L a1n
0 a22
a2n
LLLLLLL
a11 0 0 L 0 a21 a22 0 L 0
1 0 0
1113
0002
6848
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1.2-1.3 性质和计算
例3 证明DD1D2 其中
对D2作运算cikcj 把D2化为
a11 a1k 0 0
D
ak1 c11
akk c1k
0 b11
0 b1n
cn1 cnk bn1 bnn
下三角形行列式 设为 q11 0
ci
kc j
a21 M
L
(a2i ka2 j ) L M
a2 j L M
a2 j M
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj)
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1.2-1.3 性质和计算
二、应用举例
计算行列式常用方法:利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.
D2 q11 qnn qn1 qnn
于是 对D的前k行作运算
a11 D1
a1k
b11 D2
b1n
rikrj 再对后n列作运算cikcj D化为下三角形行列式

ak1 akk
ห้องสมุดไป่ตู้
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1.2-1.3 性质和计算
3111
例2 计算DD
1 1
3 1
1 3
1 1
1113
3111
6111
解 DD
1 1
3 1
1 3
1 1
c1c2c3c4
6 6
3 1
1 3
1 1
1113
6113
c166
1 1 1
1 3 1
1 1 3
1 1 1
rrr243rrr1116
1 0 0
1 2 0
1 0 2
a1n
a2n
n ( n 1)
M (1) 2 a11a22 L ann
M
ann
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1.2-1.3 性质和计算
§1.2、1.3 行列式的性质、行列 式按行(列)展开
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1.2-1.3 性质和计算
§1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结
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一、行列式的性质
证明 互换相同的两行,有 D D, D 0.
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1.2-1.3 性质和计算
5、性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都
乘以同一数 k ,等于用数 k 乘以此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
12 3 4 2
13 2 4 2
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1.2-1.3 性质和计算
3、性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
12 3 4 2
34 1 2 2
r c 以 i表示行列式的第i行,以 i 表示第i列.交换i,j两行记
作 ri rj, 交换i,j两列记作 ci c j
4、推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零.
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1.2-1.3 性质和计算
9、性质5 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一
数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21
a2i
k
a2 j
a2 j
an1 ani anj anj
a11 L (a1i ka1 j ) L a1 j L a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
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1.2-1.3 性质和计算
8、性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是
两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n
LLLLLLLL
a11a22 L ann.
00
ann
an1
an2 an3 L ann
次三角行列式
a11 a12 L a21 a22 L M ML M ML an1 0 0
L a2,n1
M M 0
a1n 0 0 L 0 0 0L M M M L M M ML 0 an1 an2 L
L a2,n1
M M an,n1
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和: a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
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