离散系统单位样值响应

1 y(n) y (n 1) x(n) 2 x(n 1) 3x(n 2) 5
§7.5 卷积和—已知单位样值 响应，求系统零状态响应
x ( n)
h( n)
m
y(n) x(n) * h(n)
x ( n)
x(m) (n m)
y ( n) x ( n ) * h( n)
6
作业
• 第一版：7-6(2)，7-10, 7-13(3)，7-20（2） • 第二版：7-5（2），7-9，7-12（3）， 7-18（2）
7
求系统单位样值响应（2）
• 利用已知的阶跃响应求单位冲激响应h(n) 例：已知因果系统是一个二阶常系数差分 方程，并已知当x(n)=u(n) 时的响应为：
h(n) (0.5)
n
3
在 n 0 时，接入的激励 (n 1) 用线性时不变性来进行计算 r (n)
（3）
y(n) 0.5 y(n 1) (n 1)
x(n) (n)
x(n) (n 1)
h(n) (0.5)
n
r (n) h(n 1) (0.5)
10
Hale Waihona Puke Baidu
二、根据单位样值响应 分析系统的因果性和稳定性
• 因果性：输入变化不领先于输出变化 充分必要条件
n 0 h(n) 0
• 稳定性：输入有界则输出必定有界 充分必要条件
n
h( n )
11
例：已知某系统的 h(n) a nu(n)
问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
n1
4
例
y(n) 3 y(n 1) 3 y(n 2) y(n 3) x(n)
1
2
三重根
n
y(n) (C1n C2n C3 )(1)
齐次解
确定初始 条件
x(0) 1, x(1) 0, x(2) 0,
h(0) 1, h(1) 0, h(2) 0,
1 C1 2 3 C2 2 C3 1
1 2 h(n) (n 3n 2)u (n) 2
5
例
y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) x(n) 3x(n 2) 只考虑 x( n) 激励
n n
1 2 2 3
3 2C 2 1C )n( 1h h(0) 1, h(1) 0, C1 2, C2 3 1n 1n )n(u) 2 3( )n( 1h
（1）求系统单位样值响应 （2）若系统为零状态，求此二阶差分方程
8
g (n) (2 3 5 10)u(n)
n n
解 设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) br x(n r )
2
g (n) (2 3 5 10)u(n)
§7.4 离散系统单位样值响应
• (t ) 和 (n) 的定义的区别 • (t ) 的定义
(t )dt
1
(t 0) (t 0)
0
(t ) 0
t
•
( n)
的定义
0
1 n 0 (n) 0 n 0
n
1
一、求系统单位样值响应 h(n)
m
x ( m) h ( n m)
14

一、卷积和
h(n) a nu(n) 0 a 1, 例如：已知 x(n) G(n) u(n) u(n N )
求零状态响应
解
y ( n) ?
y(n) x(n) * h(n)
n 0 h(n) 0

0 n N 1 y(n) x(n m)h(m) a nmu(n m)[u(m) u(m N )]
（1）激励为 (n) 时，系统在零状态
y(n) 0.5 y(n 1) (n)
y(1) 0
h(0) (0) 0.5 y(1) 1
h(1) (1) 0.5 y(0) 0.5
h(2) (2) 0.5 y(1) (0.5)
2
h(n) (0.5)
只考虑 3x(n 2) 激励 h2 (n) 3h 1 ( n 2) 利用LTI
3[3n 1 2n 1 ]u (n 2)
h(n) h1 (n) h2 (n) (3n 1 2n 1 )u (n) 3(3n 1 2n 1 )u (n 2)
2 a1 a2 ( 2)( 5)
7 10
2
a1 7 a2 10
9
h(n) 7h(n 1) 10h(n 2) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2) 1 n 12 n h(n) 14 (n) ( 2 5 )u (n 1) 2 5
h(0) 14 h(1) 13 h(2) 62
n 0 h(0) 14 b0 14 n 1 h(1) 13 b1 98 13 85 n 2 h(n) 62 b2 63 7 13 1014 111
y(n) 7 y(n 1) 10 y(n 2) 14x(n) 85x(n 1) 111x(n 2)
m 0 m 0 ( n 1) 1 a a nm a n a m a n 1 1 a m 0 m 0 n n
15
n N 1 y(n) a
m 0
N 1
nm
1 a a 1 a 1
n
N
h(n) a nu(n)
x ( n)
N 1
1 a ( n 1) a 1 a 1
n
1 aN a 1 a 1
n
N 1
16
作业
• 旧版：7-31（3），7.33（1）（2） • 新版：相同
17
n n
r 0
(n) u (n) u (n 1) 由 g(n) 求h(n) h(n) g (n) g (n 1) 1 n 12 n 14 (n) ( 2 5 )u (n 1) 2 5 2 特征方程： a1 a2 0 特征根： 1 2 2 5
n
2
2）将激励 (n) 转化为系统的零输入时系统起始条件
将 (n) 转化为起始条件，于是齐次解即零 h(n) 就是单位样值响应 输入解
y(n) 0.5 y(n 1) (n)
0.5
y(1) 0
n
h(n) C(0.5)
C 1
h(0) C(0.5)0 1
n 0 u(n) 0 n 0 h(n) anu(n)
1 a 1 n 1 a h ( n ) a u ( n ) n 1 1 a n n a 1 1 a
是因果 系统 有界稳定
发散 不稳定
12
例
• 求系统单位样值响应 h(n) • 判断系统稳定性 1 1 n 解： h( n) C ( ) n 2 5 5 9 66 h(0) 1, h(1) h(2) C 66 5 25 n 9 1 h(n) (n) (n 1) 66 u(n 2) 5 5 9 稳定系统 n h(n) 1 66(0.2) 5 n2 n 0 13