第7节 n维线性空间的同构
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x2 (1 , 2 , , n ) xn
x1 x1 x x2 2 T ( ) T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) xn xn x1 x1 x x2 2 (1 , 2 , , n ) A (1 , 2 , , n ) x n xn
设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零 向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值 的特征向量。
特征向量为非零向量！
T :V V
V的基
T ( ) ,
F, 0
1, 2 ,, n
T (1, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) A
T |W ( ) T ( ), W
例题9.1—9.5 ：
定理9.1 线性变换T 的特征子空间 V 是T的不变子空 间。 V | T ( ) , V
是V的两个线性变换，并且 T T 定理9.2 设T，
那么 （1） R(T ), N (T ) 都是 的不变子空间
I A
线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计算 定理8.2 ：若 是n阶矩阵A的属于特征值 的特征向 量， ，则 是B属于特征值 的特征向量
B P 1 AP B P 1 AP
A ,
0
B( P1 ) ( P1 )
B( P1 ) P1 AP(P1 ) P1 A ( P1 )
二、特征值与特征向量的性质
n阶矩阵A有n个特征根：
p1 p2 pn n
f () I A 0
1 ( p1重), 2 ( p2重),, r ( pr重)
pi 代数重复度
特征子空间 Vi x | Ax i x
i 1, 2,, r
dimVi qi
A的特征向量是线性变换A 的特征向量的坐标向量
例8.1 ： • 线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计 算 • 线性变换A 的特征向量可以通过A 的任何一个矩阵表示的 特征向量而得到。 • A 的矩阵表示A的特征向量 特征向量的坐标向量 是线性变换A 的
三次或更高次多項式的因式分 解
x1 x1 x x2 2 A x n xn
T ( ) ,
V的基
x1 x2 (1 , 2 , , n ) 1, 2 ,, n x1 x1 xn x x2 2 A x n xn
V1 V2 Vr
定理8.5 ：
代数重复度
pi qi
几何重复度
习题：
第9节 线性变换的 不变子空间
定义9.1: 设T是线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空 间，如果对任意的 W，都有 T ( ) W，则称W是线 性变换T 的不变子空间 并且，T 可以看做子空间 W 上的一个线性变换，称 T 在W 上的限制，记为 T |W ，而且
（2） T 的特征子空间是
的不变子空间
不变子空间简单性质： (1) 线性变换T 的不变子空间的和与交仍然是T的不变 子空间 (2) 设 W span{1, 2,, s } 则W是线性变换T 的不变 子空间的充要条件是 T (i ) W , i 1, 2,, s (3) V 的任一子空间都是数乘变换的不变子空间。
二、矩阵可对角化的条件
定理10.2: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性 无关的特征向量。
P AP diag{1, 2 , , n }
1
P {1 , 2 , , n } AP Pdiag{1 , 2 , , n }
A{1, 2 , , n} {1, 2 , , n}diag{1, 2 , , n}
定理7.1
数域F上的两个有限维线性空间同构 两个线性空间有相同的维数
例题7.1
第8节 线性变换的 特征值与特征向量
一、线性变换的特征值与特征向量
定义8.1： 设T是数域F的n维线性空间V的线性变换， 如果在V中存在至少一个非零向量 使得 T ( ) , F 那么称 是T的一个特征值，称 是T的属于特征值 的 特征向量。 矩阵的特征值与特征向量：
设W是n维线性空间V的线性变换T 的不变子空间。
W 的基 1 , 2 ,, m
T (1 ), T (2 ),, T (m ) W
V 的基
1, 2 ,, m , 1, 2 ,, nm
T (1 ), T (2 ),, T (nm ) V
T (i ) a1i1 a2i2 ami am i 1,2,, m
一、线性变换的可对角化
定义10.1: 数域F上的n维线性空间V的线性变换T称为可 对角化的，如果在V中存在一个基，使得T在这个基下的 矩阵为对角矩阵。
T (1, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) A
对角矩阵
定义10.2: n阶矩阵A与对角矩阵相似，那么称A可对角化， 也称A是单纯矩阵。 定理10.1: 线性变换T可对角化的充要条件是矩阵A可对 角化。
第7节 n维线性空间的同构
定义7.1 若两个线性空间 V1 与 V2，存在 V1 到 V2 上 的一个一一对应 ，使得对于任意的向量 , V1 ，数 都有：
(1) : ( ) ( ) ( ) (2) : ( ) ( )
则称此一一对应 为 V1 到 V2 的同构映射，称 V1 和 V2 是同构的。
V W1 W2 Ws
的充要条件是T在某基下的矩阵表示为准对角矩阵 diag{A1, A2 ,, As } 其中 Ai 是T |wi （T在wi上的限制）相应基下对应的矩阵 表示。
第10节 矩阵的相似对角形
对于n维线性空间V上的 线性变化A，是否存在V 的一个基使其在这个基 下的矩阵为对角矩阵。
同构映射的性质：
(1) : (0) 0; ( ) ( )
(2) : (k11 k22 ks s ) k1 (1 ) k2 (2 ) ks ( s )
(3) V 中向量组 1, 2 ,, s 线性相关（无关） 像 (1 ), (2 ),, (s ) 线性相关（无关） (4)如果 V1 是 V 的一个子空间，则 V1 在 下的像的集 合 (V1 ) ( ) V1 是 (V ) 的一个子空间，并且 V1 与 (V1 ) 的维数相同。
几何重复度
定理8.3 ：
1 , 2 ,, r 是 A 的r 个互不相同的特征值， i 是对 应于 i 的特征向量 (i 1, 2,, r )，那么 1 , 2 ,, r 是线 性无关的。
属于不同特征值的特征向量线性无关
定理8.4 ：
1 , 2 ,, r 是 A 的r 个互不相同的特征值，qi 是i 的 i1, i 2 ,,iq1 是对应于 i 的 qi 个线性无 几何重复度， 关的特征向量，那么 i1, i 2 ,,iq1 ,,r1, r 2 ,,rqr 是线 性无关的。
Ai i i
定理10.3: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特 征值的几何重复度等于代数重复度。
pi qi
定理10.3: n阶矩阵A的特征值为 {1 , 2 , , n } ，那么A与 对角矩阵相似的充要条件是 pi n rank (i I A) 。
习题：
F, 0
(1) 是T的一个特征值 (2) 是T的属于 一个特征向量
是A的一个特征值
的坐标 x1 , x2 , , xn 是 A的属于 的特征
T
向量。
定理8.1 ：
相似矩阵有相同的特征值
B P 1 AP
I B I P 1 AP P 1 I A P P 1 I A P
T ( j ) a1 j1 a2 j 2 amj am b1 j 1 bnmj nm j 1, 2,, n m
那么线性变换T 在V的基下的矩阵表示为A：
A1 A 0 A2 B1
A1 aij
m m
定理9.3 设T是线性空间V的线性变换，那么V可以分 解为T的不变子空间的直和
x1 x1 x x2 2 T ( ) T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) xn xn x1 x1 x x2 2 (1 , 2 , , n ) A (1 , 2 , , n ) x n xn
设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零 向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值 的特征向量。
特征向量为非零向量！
T :V V
V的基
T ( ) ,
F, 0
1, 2 ,, n
T (1, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) A
T |W ( ) T ( ), W
例题9.1—9.5 ：
定理9.1 线性变换T 的特征子空间 V 是T的不变子空 间。 V | T ( ) , V
是V的两个线性变换，并且 T T 定理9.2 设T，
那么 （1） R(T ), N (T ) 都是 的不变子空间
I A
线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计算 定理8.2 ：若 是n阶矩阵A的属于特征值 的特征向 量， ，则 是B属于特征值 的特征向量
B P 1 AP B P 1 AP
A ,
0
B( P1 ) ( P1 )
B( P1 ) P1 AP(P1 ) P1 A ( P1 )
二、特征值与特征向量的性质
n阶矩阵A有n个特征根：
p1 p2 pn n
f () I A 0
1 ( p1重), 2 ( p2重),, r ( pr重)
pi 代数重复度
特征子空间 Vi x | Ax i x
i 1, 2,, r
dimVi qi
A的特征向量是线性变换A 的特征向量的坐标向量
例8.1 ： • 线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计 算 • 线性变换A 的特征向量可以通过A 的任何一个矩阵表示的 特征向量而得到。 • A 的矩阵表示A的特征向量 特征向量的坐标向量 是线性变换A 的
三次或更高次多項式的因式分 解
x1 x1 x x2 2 A x n xn
T ( ) ,
V的基
x1 x2 (1 , 2 , , n ) 1, 2 ,, n x1 x1 xn x x2 2 A x n xn
V1 V2 Vr
定理8.5 ：
代数重复度
pi qi
几何重复度
习题：
第9节 线性变换的 不变子空间
定义9.1: 设T是线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空 间，如果对任意的 W，都有 T ( ) W，则称W是线 性变换T 的不变子空间 并且，T 可以看做子空间 W 上的一个线性变换，称 T 在W 上的限制，记为 T |W ，而且
（2） T 的特征子空间是
的不变子空间
不变子空间简单性质： (1) 线性变换T 的不变子空间的和与交仍然是T的不变 子空间 (2) 设 W span{1, 2,, s } 则W是线性变换T 的不变 子空间的充要条件是 T (i ) W , i 1, 2,, s (3) V 的任一子空间都是数乘变换的不变子空间。
二、矩阵可对角化的条件
定理10.2: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性 无关的特征向量。
P AP diag{1, 2 , , n }
1
P {1 , 2 , , n } AP Pdiag{1 , 2 , , n }
A{1, 2 , , n} {1, 2 , , n}diag{1, 2 , , n}
定理7.1
数域F上的两个有限维线性空间同构 两个线性空间有相同的维数
例题7.1
第8节 线性变换的 特征值与特征向量
一、线性变换的特征值与特征向量
定义8.1： 设T是数域F的n维线性空间V的线性变换， 如果在V中存在至少一个非零向量 使得 T ( ) , F 那么称 是T的一个特征值，称 是T的属于特征值 的 特征向量。 矩阵的特征值与特征向量：
设W是n维线性空间V的线性变换T 的不变子空间。
W 的基 1 , 2 ,, m
T (1 ), T (2 ),, T (m ) W
V 的基
1, 2 ,, m , 1, 2 ,, nm
T (1 ), T (2 ),, T (nm ) V
T (i ) a1i1 a2i2 ami am i 1,2,, m
一、线性变换的可对角化
定义10.1: 数域F上的n维线性空间V的线性变换T称为可 对角化的，如果在V中存在一个基，使得T在这个基下的 矩阵为对角矩阵。
T (1, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) A
对角矩阵
定义10.2: n阶矩阵A与对角矩阵相似，那么称A可对角化， 也称A是单纯矩阵。 定理10.1: 线性变换T可对角化的充要条件是矩阵A可对 角化。
第7节 n维线性空间的同构
定义7.1 若两个线性空间 V1 与 V2，存在 V1 到 V2 上 的一个一一对应 ，使得对于任意的向量 , V1 ，数 都有：
(1) : ( ) ( ) ( ) (2) : ( ) ( )
则称此一一对应 为 V1 到 V2 的同构映射，称 V1 和 V2 是同构的。
V W1 W2 Ws
的充要条件是T在某基下的矩阵表示为准对角矩阵 diag{A1, A2 ,, As } 其中 Ai 是T |wi （T在wi上的限制）相应基下对应的矩阵 表示。
第10节 矩阵的相似对角形
对于n维线性空间V上的 线性变化A，是否存在V 的一个基使其在这个基 下的矩阵为对角矩阵。
同构映射的性质：
(1) : (0) 0; ( ) ( )
(2) : (k11 k22 ks s ) k1 (1 ) k2 (2 ) ks ( s )
(3) V 中向量组 1, 2 ,, s 线性相关（无关） 像 (1 ), (2 ),, (s ) 线性相关（无关） (4)如果 V1 是 V 的一个子空间，则 V1 在 下的像的集 合 (V1 ) ( ) V1 是 (V ) 的一个子空间，并且 V1 与 (V1 ) 的维数相同。
几何重复度
定理8.3 ：
1 , 2 ,, r 是 A 的r 个互不相同的特征值， i 是对 应于 i 的特征向量 (i 1, 2,, r )，那么 1 , 2 ,, r 是线 性无关的。
属于不同特征值的特征向量线性无关
定理8.4 ：
1 , 2 ,, r 是 A 的r 个互不相同的特征值，qi 是i 的 i1, i 2 ,,iq1 是对应于 i 的 qi 个线性无 几何重复度， 关的特征向量，那么 i1, i 2 ,,iq1 ,,r1, r 2 ,,rqr 是线 性无关的。
Ai i i
定理10.3: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特 征值的几何重复度等于代数重复度。
pi qi
定理10.3: n阶矩阵A的特征值为 {1 , 2 , , n } ，那么A与 对角矩阵相似的充要条件是 pi n rank (i I A) 。
习题：
F, 0
(1) 是T的一个特征值 (2) 是T的属于 一个特征向量
是A的一个特征值
的坐标 x1 , x2 , , xn 是 A的属于 的特征
T
向量。
定理8.1 ：
相似矩阵有相同的特征值
B P 1 AP
I B I P 1 AP P 1 I A P P 1 I A P
T ( j ) a1 j1 a2 j 2 amj am b1 j 1 bnmj nm j 1, 2,, n m
那么线性变换T 在V的基下的矩阵表示为A：
A1 A 0 A2 B1
A1 aij
m m
定理9.3 设T是线性空间V的线性变换，那么V可以分 解为T的不变子空间的直和