必修五等差数列的性质

§2.2.2 等差数列的性质

学习目标

1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.

2. 能运用等差数列的性质解决有关问题.

知识点一等差数列的性质

思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？

答案利用1＋100＝2＋99＝…. 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和. 即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….

梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n ＝2p，则a n＋a m＝2a p.

知识点二由等差数列衍生的新数列

思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么{a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？

答案∵(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d. ∴{a n＋a n＋2}是公差为2d 的等差数列.

梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有

1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.( √ )

2.等差数列{a n }中，若l ，m ，n ，p ，q ，r ∈N *，且l ＋m ＋n ＝p ＋q ＋r ，则a l ＋a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a r .( √ )

3.等差数列{a n }中，若m ＋n 为偶数，且m ，n ∈N *，则a m ＋a n 2＝2

m n a .( √ )

类型一 等差数列推广通项公式的应用

例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式.

考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题

解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，

所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.

反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.

跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，

则a 8等于( )

A.0

B.3

C.8

D.11 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题

答案 B

解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3

＝12－(－2)7＝2， ∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.

∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1

＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.

类型二 等差数列与一次函数的关系

例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列

解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p . 它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列. 由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ，所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .

反思与感悟 根据等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知{a n }为等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)，此结论可用来判断{a n }是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 跟踪训练2 若数列{a n }满足a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题

答案 23

解析 由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23

的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23＝－23n ＋473. 令a n ＝0，解得n ＝472

＝23.5， ∵d ＝－23

，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23.

类型三 等差数列性质的应用

例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式.

考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题

解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5. 又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9， 所以(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，即(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.

若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .

方法二 设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 4＋a 7＝15，得a 1＋a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，即a 1＋3d ＝5，① 由a 2a 4a 6＝45，得(a 1＋d )(a 1＋3d )(a 1＋5d )＝45，将①代入上式，得(5－2d )×5×(5＋2d )＝45， 即(5－2d )(5＋2d )＝9，② 解得a 1＝－1，d ＝2或a 1＝11，d ＝－2，

即a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3或a n ＝11－2(n －1)＝－2n ＋13.

引申探究

1.在例3中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N *，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？

解 设公差为d ，则a m ＝a 1＋(m －1)d ，a n ＝a 1＋(n －1)d ，a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ， a r ＝a 1＋(r －1)d ，a s ＝a 1＋(s －1)d ，∴a m ＋a n ＋a p ＝3a 1＋(m ＋n ＋p －3)d ，

a q ＋a r ＋a s ＝3a 1＋(q ＋r ＋s －3)d ，∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .

2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.

答案 20

解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，

∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7，即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.

反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.

跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值. 考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题

解 方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ，(a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，

∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列.

∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝2×33－39＝27.

方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝39，∴a 1＋3d ＝13，①

∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②

联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧

d ＝－2，a 1＝19. ∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d )＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.