高等数学全微分方程
合集下载
高等数学-第七章-微分方程
工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高等数学6章常微分方程
设 y uxe Pxdx
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy 2 dx 2 例如 y x , x sin t t , 线性的; dx dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
高等数学（上）
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
Ce
P ( x ) dx
过定点的积分曲线; 微分方程的图形
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
高等数学（上）
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程
三、一阶线性微分方程
cos x C.
所以原方程通解为
y
1 cos x C . x
高等数学（上）
1 sin x 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sin x y x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
高等数学（上）
( x, C1 )
例3 求方程 xy
解
(5)
y
(4)
0 的通解.
(5)
设y
(4)
P ( x ), y
P ( x )
(4)
代入原方程 分离变量,得
xP P 0, （P 0）
1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , 2
原方程通解为
高等数学（上）
高等数学之微分方程课件
8-4 二阶微分方程
精品课程
例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
《高等数学》 教学课件
旅游旅行攻略
汇报人姓名
CLICK TO ADD TITLE来自八章 微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解
精品课程
例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
《高等数学》 教学课件
旅游旅行攻略
汇报人姓名
CLICK TO ADD TITLE来自八章 微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
高等数学第七章常微分方程
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
高等数学
第七章 常微分方程
因此y=eλ1x是原方程的解。 函数y=C1eλ1x+C2eλ2x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x y″=C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x 代入原方程，则 (C1λ12eλ1x+C2λ22eλ2x)-(λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2( C1eλ1x+eλ2x)≡0 说明y=C1eλ1x+C2eλ2x也是原方程的解。
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程
第一节 微分方程的概念
一、 微分方程的基本概念
例1 已知一条曲线经过点(2，1)，且该曲线上任一点
P(x，y)处切线斜率为x，求该曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y=y(x).由导数的概念及几何意义
F(x，f(x)，f′(x)，…，f(n)(x))≡0 则称y=f(x)为微分方程 (7-1-1) 在区间I上的解。
第一节 微分方程的概念
例2 验证函数y=eλ1x和y=C1eλ1x+C2eλ2x均为方程 y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0的解。
解 y=eλ1x的一阶导数和二阶导数分别为 y′=λ1eλ1x， y″=λ12eλ1x 将y，y′，y″代入原方程中，则 λ12eλ1x-(λ1+λ2)λ1eλ1x+λ1λ2eλ1x≡0
dx
高等数学中的微分方程求解技巧
高等数学中的微分方程求解技巧引言：微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在高等数学学习中，学生需要掌握微分方程的求解技巧，以应对各种实际问题。
本文将介绍一些常见的微分方程求解技巧，帮助学生更好地理解和应用微分方程。
一、一阶常微分方程的求解一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类，其一般形式为dy/dx = f(x, y)。
求解一阶常微分方程的关键是找到一个合适的积分因子。
常见的求解技巧包括分离变量法、齐次方程法和一阶线性微分方程法。
1. 分离变量法分离变量法适用于可以将方程两边的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分离，然后对两边同时积分，得到方程的通解。
最后可以通过给定的初始条件求解特解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于可以将方程化为齐次形式的情况。
通过引入新的变量，将方程化为齐次形式后，再进行变量代换，最终得到方程的通解。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法适用于可以化为一阶线性微分方程的情况。
通过引入合适的积分因子，将方程化为一阶线性微分方程，然后进行变量代换和积分，得到方程的通解。
二、二阶线性常微分方程的求解二阶线性常微分方程是一阶常微分方程的推广形式，其一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)。
求解二阶线性常微分方程的关键是找到其特解和齐次解。
常见的求解技巧包括常数变易法、待定系数法和特征方程法。
1. 常数变易法常数变易法适用于方程的非齐次项为常数的情况。
通过假设特解为常数，代入方程后解得常数的值，进而得到特解。
2. 待定系数法待定系数法适用于方程的非齐次项为多项式函数的情况。
通过假设特解为多项式函数，代入方程后解得多项式系数的值，进而得到特解。
3. 特征方程法特征方程法适用于方程的齐次解的求解。
通过假设齐次解为指数函数形式，代入方程后解得特征方程，进而得到齐次解。
三、常见的微分方程应用微分方程广泛应用于物理、工程和经济等领域中的实际问题。
高等数学下微分方程
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C ,即 yC(x1)2
用常数变易法求特解. 令 yu(x)(x1)2,则
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
例2、
dy dx
x
特解: yx2 1
s0.2t220 t
线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。
y (4 ) 4 y 1 0 y 1 2 y 5 y s in x
x(y)22yyx0
dy sinxyex dx
x dy cos y 1 dx
第十二章
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量微分方程 二、齐次方程 三、全微分方程（数一） 四、一阶线性微分方程
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,则 u1y
故有 积分
u1eu
du
1eu
xC
(1eu)eu
1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
二、齐次方程
一、齐次方程 二、可化为齐次方程
一、齐次方程
形如 d y ( y) 的方程叫做齐次方程 .
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程 dy 3x2 y 的通解.
dx
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分 dyy 3x2 dx
变形, 因此可能增、 减解.
得 lnyx3C1
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
标准形式
通过适当的变量代换，一阶线性微 分方程可化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是 已知函数。
一阶线性方程全微分方程的解的存在性与唯一性定理
1 2
解的存在性
如果一阶线性微分方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在某区间上连续，那么在该区间内必定存在原方 程的解。
解的唯一性
如果一阶线性微分方程满足初始条件 $y(x_0) = y_0$，那么在给定区间内，原方程的解是唯一的。
3
解的连续性与可微性
一阶线性微分方程的解在其定义域内是连续且可 微的。
一阶线性方程全微分方程的通解与特解
通解
一阶线性微分方程的通解是包含 任意常数的解，它表示了原方程
所有可能的解。
特解
满足特定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 的解称为特解，它是通解
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法包括降阶法、特征根法、常数变易法等，其中降阶法是通过变量 代换将高阶方程化为低阶方程来求解。
高阶线性微分方程的性质
高阶线性微分方程具有线性性、叠加性、齐次性等性质，这些性质在求解过程中起着重要 作用。
非线性微分方程简介
非线性微分方程的定义
非线性微分方程是指微分方程中未知函数或其导数出现高次幂、 乘积、分式等非线性形式的方程。
通过适当的变量代换，一阶线性微 分方程可化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是 已知函数。
一阶线性方程全微分方程的解的存在性与唯一性定理
1 2
解的存在性
如果一阶线性微分方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在某区间上连续，那么在该区间内必定存在原方 程的解。
解的唯一性
如果一阶线性微分方程满足初始条件 $y(x_0) = y_0$，那么在给定区间内，原方程的解是唯一的。
3
解的连续性与可微性
一阶线性微分方程的解在其定义域内是连续且可 微的。
一阶线性方程全微分方程的通解与特解
通解
一阶线性微分方程的通解是包含 任意常数的解，它表示了原方程
所有可能的解。
特解
满足特定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 的解称为特解，它是通解
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法包括降阶法、特征根法、常数变易法等，其中降阶法是通过变量 代换将高阶方程化为低阶方程来求解。
高阶线性微分方程的性质
高阶线性微分方程具有线性性、叠加性、齐次性等性质，这些性质在求解过程中起着重要 作用。
非线性微分方程简介
非线性微分方程的定义
非线性微分方程是指微分方程中未知函数或其导数出现高次幂、 乘积、分式等非线性形式的方程。
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
高等数学上册第七章微分方程
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x) y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
高等数学同济五版125全微分方程
种群动态模型
描述种群数量变化的全微分方程，如动物种群数量 与出生率、死亡率之间的关系。
神经网络模型
描述神经元之间信息传递的全微分方程，如大脑神 经网络的信号传递。
传染病模型
描述传染病传播规律的全微分方程，如病毒在人群 中的传播速度和范围。
THANK YOU
感谢聆听
02
全微分方程的解法
初值问题与通解
初值问题定义
给定一个微分方程和一组初始 条件，求未知函数在某点的值 。
通解概念
满足微分方程和初始条件的所 有解的集合。
通解的求解方法
通过积分求解微分方程，并满 足初始条件。
初值问题的特解
02
01
03
特解的定义
满足微分方程但不满足初始条件的解。
特解的求解方法
通过代入法、常数变易法等求解微分方程，得到特解 。
欧拉方法简单易懂，但精度较低，对于复杂的问题 可能需要较大的步长才能得到满意的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高精度的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值和导数值来 逼近微分方程的解。
龙格-库塔方法的基本公式是 (y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n))，其中 (h) 是步长，(f(t_n, y_n)) 是微分方 程在 (t_n, y_n) 处的导数。
高等数学同济五版125全微分 方程
目
CONTENCT
录
• 引言 • 全微分方程的解法 • 全微分方程的稳定性 • 全微分方程的数值模拟 • 实际应用案例
01
引言
全微分方程的定义与重要性
定义
全微分方程是一种特殊的常微分方程，其解可以用全微分的形式 表示。
描述种群数量变化的全微分方程，如动物种群数量 与出生率、死亡率之间的关系。
神经网络模型
描述神经元之间信息传递的全微分方程，如大脑神 经网络的信号传递。
传染病模型
描述传染病传播规律的全微分方程，如病毒在人群 中的传播速度和范围。
THANK YOU
感谢聆听
02
全微分方程的解法
初值问题与通解
初值问题定义
给定一个微分方程和一组初始 条件，求未知函数在某点的值 。
通解概念
满足微分方程和初始条件的所 有解的集合。
通解的求解方法
通过积分求解微分方程，并满 足初始条件。
初值问题的特解
02
01
03
特解的定义
满足微分方程但不满足初始条件的解。
特解的求解方法
通过代入法、常数变易法等求解微分方程，得到特解 。
欧拉方法简单易懂，但精度较低，对于复杂的问题 可能需要较大的步长才能得到满意的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高精度的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值和导数值来 逼近微分方程的解。
龙格-库塔方法的基本公式是 (y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n))，其中 (h) 是步长，(f(t_n, y_n)) 是微分方 程在 (t_n, y_n) 处的导数。
高等数学同济五版125全微分 方程
目
CONTENCT
录
• 引言 • 全微分方程的解法 • 全微分方程的稳定性 • 全微分方程的数值模拟 • 实际应用案例
01
引言
全微分方程的定义与重要性
定义
全微分方程是一种特殊的常微分方程，其解可以用全微分的形式 表示。
1.5 全微分方程及积分因子
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高 等 数 学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的 积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高 等 数 学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高 等 数 学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈 尔 滨 工 程 大 学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈 尔 滨 工 程 大 学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高 等 数 学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高 等 数 学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高 等 数 学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的 积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高 等 数 学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高 等 数 学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈 尔 滨 工 程 大 学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈 尔 滨 工 程 大 学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高 等 数 学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高 等 数 学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2
高等数学 第十二章 微分方 第五节 全微分方程
与x有关时; = 0, = , ∂y ∂x dx
d ln µ 1 ∂P ∂Q ∴ = ( − ) = f ( x) dx Q ∂y ∂x ∂µ ∂µ dµ = 0, = , b. 当µ只与y有关时; ∂y dy ∂x d ln µ 1 ∂Q ∂P = g ( y ) ∴ = ( − ) dy P ∂x ∂y
原方程的通解为
可积组合法
1 yx + ( xy )2 = C . 2
3
(公式法)
例4 求微分方程
2 x (1 + x 2 − y )dx − x 2 − ydy = 0的通解 .
解
2 xdx + 2 x x 2 − ydx − x 2 − ydy = 0, d ( x 2 ) + x 2 − yd ( x 2 ) − x 2 − ydy = 0,
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
例5 求微分方程
2 xy ln ydx + ( x + y
2 2
2
1 + y )dy = 0的通解 .
2 2 2
解 将方程左端重新组合,有
可选用的积分因子有
x y 1 1 1 1 , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x+ y x x y x + y y x
例3 求微分方程
( 3 xy + y )dx + ( x + xy )dy = 0的通解 .
2 2
1 ∂P ∂Q 1 ∫ x dx − ) = , ∴ µ ( x) = e = x. 解 ∵ ( x Q ∂y ∂x
d ln µ 1 ∂P ∂Q ∴ = ( − ) = f ( x) dx Q ∂y ∂x ∂µ ∂µ dµ = 0, = , b. 当µ只与y有关时; ∂y dy ∂x d ln µ 1 ∂Q ∂P = g ( y ) ∴ = ( − ) dy P ∂x ∂y
原方程的通解为
可积组合法
1 yx + ( xy )2 = C . 2
3
(公式法)
例4 求微分方程
2 x (1 + x 2 − y )dx − x 2 − ydy = 0的通解 .
解
2 xdx + 2 x x 2 − ydx − x 2 − ydy = 0, d ( x 2 ) + x 2 − yd ( x 2 ) − x 2 − ydy = 0,
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
例5 求微分方程
2 xy ln ydx + ( x + y
2 2
2
1 + y )dy = 0的通解 .
2 2 2
解 将方程左端重新组合,有
可选用的积分因子有
x y 1 1 1 1 , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x+ y x x y x + y y x
例3 求微分方程
( 3 xy + y )dx + ( x + xy )dy = 0的通解 .
2 2
1 ∂P ∂Q 1 ∫ x dx − ) = , ∴ µ ( x) = e = x. 解 ∵ ( x Q ∂y ∂x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解: 因为 P 6xy 3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
取 x0 0, y0 0, 则有
u
(x,
y)
x
0 5
x4
dx
y
0
(3
x2
y
3xy2
y2
)
d
y
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
y (x, y)
因此方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
练习题 解方程
解法1 积分因子法. 原方程变形为
取积分因子
1 y2
故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
解法2 化为齐次方程. 原方程变形为
积分得
将 u y 代入 , 得通解 x
此外, y = 0 也是方程的解.
解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为
即
此外, y =y0也e是 P方(x程)dx的解 Q. (x) e P(x)dx dx C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
2
x
2x
故原方程的通解为 1 x2 y C 2x
思考: 如何解方程
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例2 的方程 .
积分因子法
若存在连续可微函数 (x, y) 0, 使
为全微分方程, 则称 (x, y)为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
常用微分倒推公式:
1) dx dy d ( x y )
7)
ydx x2
xd y2
y
d
(
arctan
x y
)
可取
8) xdx ydy d ( x2 y2
x2 y2 )
例3. 求解
解: 分项组合得 ( y dx x dy ) xy ( y dx x dy ) 0
即 d( xy) x2 y2 ( dx dy ) 0 xy
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
则称
P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①Leabharlann 选择积分因子(x,
y)
1 x2 y2
, 同乘方程两边
,
得
d( x y) (xy)2
dx x
dy y
0
即 d 1 d(ln x ) d(ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
例1. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
2) xdy ydx d ( xy )
3)
xdx ydy d (
1 2
(x2
y2
)
)
4)
ydx xdy y2
d(
x y
)
5)
ydx xdy x2
d(
y x
)
6) ydx xdy d ( ln x )
xy
y
积分因子不一定唯一 .
例如, 对 ydx xdy 0