让合情推理从“幕后”走向“前台”——从一道高考试题谈起
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的左 、右 顶 点 ， Ｐｍ，） （ ０ 为椭 圆 内一定 点 ．过 点 Ｐ作
直线 ｚ 交椭 圆于 Ｍ ，Ⅳ两 点 ，连接 Ａ ，Ｂ ，设 直 Ｍ Ｎ
趣 ．本文从一道高考解析几何题 出发 ，运 用合情推 理 的两 大 利器 —— 归纳 、 类 比 ，探 寻 出 圆锥 曲线 的
一
个美妙性质 ，实现 了从解一题到通 一类 、会一法
ｚｐ
一
ｚ ｐ
求证 ：直线 ＭＮ恒 过 定点 （ ， ） Ｏ．
ｍ
王２
证明过程可以仿照猜想 １ ，这里从略． 椭 圆 、双 曲线 的 这一 性 质 ，其 结构 对称 ，遥相 呼应 ，两者交相辉映 ，彰显数学的奇异、和谐之美 ，
又 ・ ：１ ． ・ 一ｘ
．
Ｐ
・ ． ．
的跨 越 ，收获 的不 仅 是一 种 知识 ，更 是 一种 问 题 解
线 Ａ ，Ｂ 交于 点 Ｐ， Ｍ Ｎ 求证 ： Ｐ在 一条 定直 线 上 ． 点
类似于猜想 ５ ，对于 双曲线和抛物线是否也成 立 ？答 案均 是 肯定 的 ，在这 里就 不再 赘述 了 ． 合 情 推 理 的应 用 ，使原 有认 知 结 构 得到 有 效 的 整 合 和 优化 ，思 维 能力 得 到 发 展 ，并 把 学 习者 引入
求 证 ：直 线 ＭＮ恒 过 定 点
（ ， ） ｏ． 玻利 亚 认 为合 情 推 理 的结 论在 严 密 的逻辑 论 让
前 是 冒险 的 ，以下 是对猜 想 １的验 证 ．
设 Ｐ ， ｏ ，则 ｌ Ｙ： （ Ｙ） ｅ ａ：
ｍ ＋ ａ
＋口 ，代 入椭 圆 ）
一
方程得【 ＋ ６
＝
双 曲 线 一 ＝１ ＞０ ６ ｏ ，＞ ）
口 Ｄ
猜 想 ４ 已 知 抛 物 线 ２ｙｐ＞０ ，过 直 线 ， ＝ ｐ（ ） ：
、
Ｐ
的 左 右 顶 点 ，设 Ｐ 为 直 线
， ： ＝ｍ（ ＜ｍ＜ 上 不 同 于 Ｏ ）
／
～
ｍ ｍ＜０ 上 任意 一 点 尸作 抛 物 （ ） 线 的 两 条 切 线 ，切 点 分 别 为
则直线 删 ：． ＋ ： ，令 ： １ ０，则 ： ，则
口一 Ｄ—
，Ｔ
ｍ
２
直 线
恒过 定 点 （ ，）． ０
பைடு நூலகம்ｍ
对 于 抛物 线 ，除 定义 描 述 外 ，与椭 圆 、双 曲线
结构 、几何特征 等方面与双曲线都有着共性要素 ， 经过对猜想 １的探求、验证 ，椭圆的定点、定值性 质 已 经 融 入到 学 生的 认 知结 构 中 去 了 ．这 时 ，类 比 迁移的主观 因素也 已经成熟 ．教师应及 时抓住学生 的这一“ 最近发展 区” 引导学生将椭 圆的性质横 向联 ， 系 ，运用类 比的方法 ，大胆猜想双曲线的类似性质 ． 猜想 ２设 ， Ｂ分别是
ｙ
２
１２ ，
种 创造 的过 程 ，在 这 个 过 程 中 ，学 习者 不 但领 悟
猜想 ３ 已知椭 圆 ＋ ＝ （ ＞ ＞０ ，过直线 ｌ ｂ ） ａ
， ＝ｍ ｍ＞日 ： （ ）上 任 意 一
了知识间、问题与问题 间的类似性 ，更重要的是 ， 由此创造的“ 过程性知识” 成为学习者不可言喻的、 潜
则直 线 ＭＮ的 方程为 ： ｘｘ 一 ：０． ｏ－ 令 ＝０，得 Ｙ＝一 ，则 获证 ． ｍ 通 过横 向联 系 ，类 比迁 移 ，发 现 了圆锥 曲线 共 有 的一 个 美 妙性 质 ．数 学 学 习中 的类 比迁 移过 程 是
一
笔者 在 课 堂 中借 助 几何 画板 》对 上述 图形 进 行 一 般化 ，释 放顶 点 ， ，通过 师 生 的共 同观察 ， 得到 如下 猜 想 ：
巧 ，要 有效 地 检 测 考 生对 中学 数 学知 识 中所蕴 含 的
（ ０ 的任 意 一 点 ，若直 线 ｍ，） Ａ Ｐ，Ｂ Ｐ分别 与 双 曲线相 交
于 异于 ， Ｂ的点 ，Ⅳ ，
Ａ √
Ⅳ ，求证 ： 直线 定点 （ ， ） ０一 ．
，
恒过
／ｕ 、 ＼
．
证明 设Ｐｘ，） （ ｍ ，Ｍ（ ， ，Ｍ（ ， ） ｏ ｘ ｌ ｝） ｘ ， ２
２ １ 年第 ７ ０１ 期
福建 中学数学
２ ７
让合情推理从 “ 后 ＂走 向 “ 台 ＂ 幕 前
— —
从一道高考试题谈起
徐爱 勇
江 苏省 江 浦高 级 中学 （ １８０ ２ ０ ） １ 的左 右 顶 点 ，设 Ｐ为 直 线 ， ： ＝ｍ ｍ＞ａ 上 不 同 于 （ ） （ ０ 的任 意一 点 ， 直线 ｍ，） 若 Ａ Ｐ， Ｂ Ｐ分 别与 椭 圆相 交
ｍ ｌ ） ＋ ａ ‘
・ ．
＋２ ｏ ＋ａ ｏ 丽ａ２ 丽Ｚ２ ｙ Ｙ
ｍ Ｉ ａ ＋ ） ｍ （ ｝ ＋ａ
，
口６ ＝０ ，
．
一
。＝
） ＋口 ， ＋６ ｎ ）
’
１试题 引思，探寻 问题本质 （０ ６年高考湖北卷 ・ ２ （ ）设 ， 分 ２０ 理 ０ Ⅱ）
２ １ ｝ ２
猜想 １设 Ａ，Ｂ分别是椭圆 ＋ ＝ ＞ ＞ ） ｌ ｂ０
３横 向联系，类比相似性质
２ ８
福建 中学数学
２ １ 年第 ２ ０２ 期
类比是根据两类对象具有某些类似 的特征 ，并 且 其 中一 类对 象 的某 些 特征 已知 ，从而 推 出另 一 类 对象也具有这些特征 的一种推理方法 ．它在解题中 具有启迪思维、搭建桥梁的重要作用 ，是系统解决 问题 的有 效 方 法 ，数 学 中许 多结 论 、规 律 的发 现 都 是通 过类 比实现 的 ．正如 波 利亚 所说 ：“ 比是一个 类
伟 大 的 引路 人” ． 椭 圆是 圆锥 曲线 的一种 类 型 ，它在 定义 、方 法
条 线 程 别 ：＋ ｌ 等＋ １ 切 方 分 为 等 ＝ ： ＝ ， ，
又・ 在两 上， ａ ＋ ： ， ＋ ： ， ． ・ 点Ｐ 切线 则萼 ｌ ａ。 １ Ｄ一 Ｏ—
２
筒析 本题 的证法也不难捕获，若学 习者仅满足
于此 问题的解决 ，数学视野和思维局 限于一个狭窄 的空 间 ，便 不 能 揭示 问题 的本质 ． 课标 》指 出 ：要 强调对数学本质 的认识 ，否则会将 生动活泼的数学 思 维活 动 淹没 在 形 式 的海 洋 里 ．为此 ，笔 者在 课 堂 上带领 学 生 用 几 何 画板 来 演示探 究 ， 拖动 点 Ｐ 在 的过 程 中 ，通 过 对 图形 中 的几何 量 度 量 ，我们 较容
（ ， ）． Ｏ
证 明 设 Ｐ ｍ，） （ Ｓ，
（ ，１， Ｎ（２ Ｙ） Ｙ） ｘ ，２ ，则 两
其逆命题 ，那 么结论是否成立 吗？比如对于椭 圆， 是 否 具有 以下 性质 ：
２ １ 年 第 ７期 ０１
福 建 中学数 学
２ ９
猜想 ５设 Ａ，Ｂ分别是椭圆 ＋ ： （＞ ＞ ） ｌ ｂ ０ ａ ａ— Ｄ
易 发现 直线 ＾ 恒 过定 点 Ｆ（，） ｃＯ．
瓣
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设直线 ＭＮ与 轴的交点为 （ ，） Ｘ ０， ｏ
２ ｂＹ（ ａ ａ ｏｍ＋ ） ｂ（ ＋ ２ ＋ ａｂ（ 玎 一 ｏ ’ ［ ＋ ） Ｙ ． 】
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ｋ ： ： ， Ｐ ＸＩ— ｏ — Ｘ
葺。一 ２ ｏ ＋ ｍ Ｘ Ｘ ２ ｐ＝０，即 ￣
２ ｙ 一２ ｏ￣ ｒ ｐ ｔ ｘｘ ＋２ ｐ＝０， ａ
印证 了高斯所言“ 合情推理 可萌发极漂亮 的新 的真
理 ” ．
即 ％ 一 一， ， ＝０，同理
一 Ｙ 一ａ ０． Ｐ２ ｒ ｐ＝
凸显数学本质理解
福 建省 晋江养 正 中学 （６ ２ １ ３２ ６ ）
１问题提 出 所谓 通 性 通 法 是指 具 有 某种 规 律 性 和 普遍 意 义 的常规解题模式和常用的数学解题 方法 ．建构主义 认 为 ，教 学应 以使 学 生形 成 对 知识 的深 刻 理解 为 目 标 ． 普通高中数学课程标准 （ 实验） 也指出：“ 高 中数 学 课程 应 该 返 璞 归真 ，努 力揭 示 数 学概 念 、 法 则、结论 的发展过程和本质 ． ＜ ０ 年数学科考试 ”＜ １ ２ １ 说 明 也 指 出 ：“ 学知 识考 查 时 ，要从 学科 整体 意 数 义和思想含义上立意 ，注重通性通法 ，淡化特殊技
试题所具备的性质纵 向拓展 ，推广到更一般的情形 中，可得猜想：
ｗ ，
从问题 引思到提 出猜想、验证猜想 ，实现 了从 特殊到一般的飞跃 ．学习者的解题策略和数学思维
在 新 知 识 的发 展 、 探 究 中完 全暴 露 ．同 时他 们也 经
历了数学的发展和创造过程 ，领悟 了知识 的来龙去 脉 ，运算能力、发散思维能力和求知精神得到了很 好 的培养 ．
到 一 个 更广 阔的领 域 ，去 体 验数 学 探 究 与 发展 的乐
决 的方法 ．因此 ，在数学教学中，教师要充分、合 理地利用合情推理 ，鼓励学 生大胆猜想 ，培养其归 纳、类 比能力 ，使合情推理成为学生 自觉 的求知方 式，成为激励探索、发现新知的源泉 ．
注重通 性通法教学
潘颖 艺
于 异于 Ａ，Ｂ的点 ，Ⅳ ，
一
普通 高中数学课程标准 （ 实验 ） （ 以下简称 为 课标＞ ＞ ）指出 ： 合情推理是根据 已有的事实和正 确 的结论、试验和实践结果 ，以及个人的经验和直 觉等推测某些结果的推理过程 ．归纳类比是合情推 理常用的思维方法 ．在解决问题的过程中 ，合情推 理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用 ， 有利于创新意识 的培养 ． 那么 ，如何 引导学生进行合情推理呢？在 日 常 的教学行为中，我们 时常会遇 到具有探究价值的问 题 ，教师若能地及时捕捉到它，启发学生运用归纳、 类 比、猜想的思维方法 ，将问题横 向联系、纵 向联 系 、 小 题大 做 ，使 学 生 的学 习过程 成 为教 师 引导 下 的“ 再创造 ” 过程 ，对 激 发学 生兴 趣 ，提升 学 习能力 ， 挖掘学 习潜能是很有帮 助的．本文拟 以一道高考题 为例阐释笔者的相关理解 ．
点 Ｐ作 椭 圆 的两 切线 ，切 点 分别 为 Ｍ ， Ⅳ ，求 证 ：
Ｍ
Ｐ 。
直 线 ＭＮ 恒 过 定 点
．
意识的个性感受 ，化为鲜活的、有生气 的学 习力量 ． ４深入思考，诱发新的猜想 牛顿曾说过 ：“ 没有大胆 的猜想 ，就做不出伟大
的发现 ” ．顺 着探 求 以 上性质 的 思路 ，将 问题 更换 为
ｖ
则
２
１， ２
别 是椭 圆 ＋ ＝１ 的左 、右 顶点 ，设 Ｐ为右 准线 上
斗 ｊ
不同于点 （ ，） ４ Ｏ 的任意一点 ， 若直线 Ｐ， Ｐ分别与 Ｂ
椭 圆相交于 异 于 Ａ ，Ｂ的点 ， Ｊ ７ ｖ．求证 ：点 在
以 为直 径 的圆 内 ．
同理
Ｙ 蓑 ’
ｙ Ｌ
并无明显 的共性 ，似乎不具备类 比的客观条件 ，它 是 否也 有 类 似 的性 质 呢 ？在 数 学 学 习活 动 中 ，类 比 除了具有 发现命题的重要作用外 ，还是探索解题 思 路、促进 知识 的掌握 和迁移、概 括、解释新的数学 事实和规律 的重要方法和手段 ，通过与获取上述性 质 的解 法 类 比 ，不 难得 出 ：
２ ｂｙ （ｍ＋ ） ａ ｏ－ ａ ６（ 口 ２ 一 ）＋ ＿ ６（ 口 Ｙ ＋ ）＋ ｏ ］
６（ 日 Ｙ 。朋一 ）＋ ｏ
＝
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＾ 。
２ ） 即 ＝ａ ｂ （ －ｙ２ ２ ２ａ －ｍ２ ｏ
鲁 ．． 获 证
２纵向拓展，归纳一般结论 归纳推理是 由个别事实概括 出一般结论 的有力 工具 ，其主要的思维方式是观察、分析、猜 想，将
直线 ｚ 交椭 圆于 Ｍ ，Ⅳ两 点 ，连接 Ａ ，Ｂ ，设 直 Ｍ Ｎ
趣 ．本文从一道高考解析几何题 出发 ，运 用合情推 理 的两 大 利器 —— 归纳 、 类 比 ，探 寻 出 圆锥 曲线 的
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证明过程可以仿照猜想 １ ，这里从略． 椭 圆 、双 曲线 的 这一 性 质 ，其 结构 对称 ，遥相 呼应 ，两者交相辉映 ，彰显数学的奇异、和谐之美 ，
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线 Ａ ，Ｂ 交于 点 Ｐ， Ｍ Ｎ 求证 ： Ｐ在 一条 定直 线 上 ． 点
类似于猜想 ５ ，对于 双曲线和抛物线是否也成 立 ？答 案均 是 肯定 的 ，在这 里就 不再 赘述 了 ． 合 情 推 理 的应 用 ，使原 有认 知 结 构 得到 有 效 的 整 合 和 优化 ，思 维 能力 得 到 发 展 ，并 把 学 习者 引入
求 证 ：直 线 ＭＮ恒 过 定 点
（ ， ） ｏ． 玻利 亚 认 为合 情 推 理 的结 论在 严 密 的逻辑 论 让
前 是 冒险 的 ，以下 是对猜 想 １的验 证 ．
设 Ｐ ， ｏ ，则 ｌ Ｙ： （ Ｙ） ｅ ａ：
ｍ ＋ ａ
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一
方程得【 ＋ ６
＝
双 曲 线 一 ＝１ ＞０ ６ ｏ ，＞ ）
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猜 想 ４ 已 知 抛 物 线 ２ｙｐ＞０ ，过 直 线 ， ＝ ｐ（ ） ：
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， ： ＝ｍ（ ＜ｍ＜ 上 不 同 于 Ｏ ）
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对 于 抛物 线 ，除 定义 描 述 外 ，与椭 圆 、双 曲线
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１２ ，
种 创造 的过 程 ，在 这 个 过 程 中 ，学 习者 不 但领 悟
猜想 ３ 已知椭 圆 ＋ ＝ （ ＞ ＞０ ，过直线 ｌ ｂ ） ａ
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了知识间、问题与问题 间的类似性 ，更重要的是 ， 由此创造的“ 过程性知识” 成为学习者不可言喻的、 潜
则直 线 ＭＮ的 方程为 ： ｘｘ 一 ：０． ｏ－ 令 ＝０，得 Ｙ＝一 ，则 获证 ． ｍ 通 过横 向联 系 ，类 比迁 移 ，发 现 了圆锥 曲线 共 有 的一 个 美 妙性 质 ．数 学 学 习中 的类 比迁 移过 程 是
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笔者 在 课 堂 中借 助 几何 画板 》对 上述 图形 进 行 一 般化 ，释 放顶 点 ， ，通过 师 生 的共 同观察 ， 得到 如下 猜 想 ：
巧 ，要 有效 地 检 测 考 生对 中学 数 学知 识 中所蕴 含 的
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福建 中学数学
２ ７
让合情推理从 “ 后 ＂走 向 “ 台 ＂ 幕 前
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江 苏省 江 浦高 级 中学 （ １８０ ２ ０ ） １ 的左 右 顶 点 ，设 Ｐ为 直 线 ， ： ＝ｍ ｍ＞ａ 上 不 同 于 （ ） （ ０ 的任 意一 点 ， 直线 ｍ，） 若 Ａ Ｐ， Ｂ Ｐ分 别与 椭 圆相 交
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２ １ ｝ ２
猜想 １设 Ａ，Ｂ分别是椭圆 ＋ ＝ ＞ ＞ ） ｌ ｂ０
３横 向联系，类比相似性质
２ ８
福建 中学数学
２ １ 年第 ２ ０２ 期
类比是根据两类对象具有某些类似 的特征 ，并 且 其 中一 类对 象 的某 些 特征 已知 ，从而 推 出另 一 类 对象也具有这些特征 的一种推理方法 ．它在解题中 具有启迪思维、搭建桥梁的重要作用 ，是系统解决 问题 的有 效 方 法 ，数 学 中许 多结 论 、规 律 的发 现 都 是通 过类 比实现 的 ．正如 波 利亚 所说 ：“ 比是一个 类
伟 大 的 引路 人” ． 椭 圆是 圆锥 曲线 的一种 类 型 ，它在 定义 、方 法
条 线 程 别 ：＋ ｌ 等＋ １ 切 方 分 为 等 ＝ ： ＝ ， ，
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于此 问题的解决 ，数学视野和思维局 限于一个狭窄 的空 间 ，便 不 能 揭示 问题 的本质 ． 课标 》指 出 ：要 强调对数学本质 的认识 ，否则会将 生动活泼的数学 思 维活 动 淹没 在 形 式 的海 洋 里 ．为此 ，笔 者在 课 堂 上带领 学 生 用 几 何 画板 来 演示探 究 ， 拖动 点 Ｐ 在 的过 程 中 ，通 过 对 图形 中 的几何 量 度 量 ，我们 较容
（ ， ）． Ｏ
证 明 设 Ｐ ｍ，） （ Ｓ，
（ ，１， Ｎ（２ Ｙ） Ｙ） ｘ ，２ ，则 两
其逆命题 ，那 么结论是否成立 吗？比如对于椭 圆， 是 否 具有 以下 性质 ：
２ １ 年 第 ７期 ０１
福 建 中学数 学
２ ９
猜想 ５设 Ａ，Ｂ分别是椭圆 ＋ ： （＞ ＞ ） ｌ ｂ ０ ａ ａ— Ｄ
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福 建省 晋江养 正 中学 （６ ２ １ ３２ ６ ）
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历了数学的发展和创造过程 ，领悟 了知识 的来龙去 脉 ，运算能力、发散思维能力和求知精神得到了很 好 的培养 ．
到 一 个 更广 阔的领 域 ，去 体 验数 学 探 究 与 发展 的乐
决 的方法 ．因此 ，在数学教学中，教师要充分、合 理地利用合情推理 ，鼓励学 生大胆猜想 ，培养其归 纳、类 比能力 ，使合情推理成为学生 自觉 的求知方 式，成为激励探索、发现新知的源泉 ．
注重通 性通法教学
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普通 高中数学课程标准 （ 实验 ） （ 以下简称 为 课标＞ ＞ ）指出 ： 合情推理是根据 已有的事实和正 确 的结论、试验和实践结果 ，以及个人的经验和直 觉等推测某些结果的推理过程 ．归纳类比是合情推 理常用的思维方法 ．在解决问题的过程中 ，合情推 理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用 ， 有利于创新意识 的培养 ． 那么 ，如何 引导学生进行合情推理呢？在 日 常 的教学行为中，我们 时常会遇 到具有探究价值的问 题 ，教师若能地及时捕捉到它，启发学生运用归纳、 类 比、猜想的思维方法 ，将问题横 向联系、纵 向联 系 、 小 题大 做 ，使 学 生 的学 习过程 成 为教 师 引导 下 的“ 再创造 ” 过程 ，对 激 发学 生兴 趣 ，提升 学 习能力 ， 挖掘学 习潜能是很有帮 助的．本文拟 以一道高考题 为例阐释笔者的相关理解 ．
点 Ｐ作 椭 圆 的两 切线 ，切 点 分别 为 Ｍ ， Ⅳ ，求 证 ：
Ｍ
Ｐ 。
直 线 ＭＮ 恒 过 定 点
．
意识的个性感受 ，化为鲜活的、有生气 的学 习力量 ． ４深入思考，诱发新的猜想 牛顿曾说过 ：“ 没有大胆 的猜想 ，就做不出伟大
的发现 ” ．顺 着探 求 以 上性质 的 思路 ，将 问题 更换 为
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则
２
１， ２
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不同于点 （ ，） ４ Ｏ 的任意一点 ， 若直线 Ｐ， Ｐ分别与 Ｂ
椭 圆相交于 异 于 Ａ ，Ｂ的点 ， Ｊ ７ ｖ．求证 ：点 在
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同理
Ｙ 蓑 ’
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并无明显 的共性 ，似乎不具备类 比的客观条件 ，它 是 否也 有 类 似 的性 质 呢 ？在 数 学 学 习活 动 中 ，类 比 除了具有 发现命题的重要作用外 ，还是探索解题 思 路、促进 知识 的掌握 和迁移、概 括、解释新的数学 事实和规律 的重要方法和手段 ，通过与获取上述性 质 的解 法 类 比 ，不 难得 出 ：
２ ｂｙ （ｍ＋ ） ａ ｏ－ ａ ６（ 口 ２ 一 ）＋ ＿ ６（ 口 Ｙ ＋ ）＋ ｏ ］
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鲁 ．． 获 证
２纵向拓展，归纳一般结论 归纳推理是 由个别事实概括 出一般结论 的有力 工具 ，其主要的思维方式是观察、分析、猜 想，将