最新暨南大学概率论与数理统计标准答案-06-07-2-内A
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暨 南 大 学 考 试 试 卷
一、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
1.某班共有30名学生,其中3名来自北京。今从班上任选2名学生去参观展览,其中恰有1名学生来自北京的概率为 27/145 。 2.一批产品的废品率为0.1,从中重复抽取m 件进行检查,这m 件产品中至少有1件废品的概率为
1(0.9)m
-。
3.设连续型随机变量2,01~()0,x x x ξϕ<<⎧=⎨⎩其它,则1()2P ξ<= 1/4 。
4.设二元随机变量(,)ξη的联合概率密度函数为
(),0,1
(,)0,x y ce x y x y ϕ-+⎧<<=⎨⎩
其他,
则c =
12
(1)e ---。
5.设随机变量ξ服从正态分布()N 24,3,则ξ的期望E ξ= 4 ,
方差D ξ= 9 。
二、单选题(共5小题,每小题3分,共15分。请
把正确答案填在题后的括号内)
1.设A 、B 、C 为三个事件,则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为( (c) )。
(a) AB AC BC ++; (b) A B C ++; (c) ABC ABC ABC ++; (d) ABC 2.已知随机变量ξ具有如下分布律
1230.1p k j ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,
且2() 5.3E ξ=,则j =( (a) )。
(a) 0.5; (b) 0.2; (c) 0; (d) 0.1
3.设随机变量ξ服从二项分布(100,0.1)B ,则ξ的期望E ξ和方差D ξ分别为( (b) )。
(a) E ξ=10,D ξ=0.09; (b) E ξ=10,D ξ=9;
(c) E ξ=90,D ξ=10; (d) E ξ=1,D ξ=3
4.设随机变量ξ服从指数分布,其概率密度函数为22,0()0,0x e x x x ϕ-⎧>=⎨≤⎩,则ξ的
期望E ξ=( (c) )。
(a) 4; (b) 2; (c)
12; (d) 14
5.设123,μμμ和为总体期望值μ的三个无偏估计量,且1213,D D D D μμμμ<<,
则以下结论( (d) )成立。
(a) 1μ是μ的有效估计量; (b) 2μ是比1μ有效的估计量;
(c) 3μ是比1μ有效的估计量; (d) 1μ是比2μ有效的估计量
三、计算题(本题12分)
设有相同规格的杯子13个,其中白色7个,绿色6个。现将其分放在甲、乙两个箱子中,在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子,其余的放入乙箱子中。
(1) 今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱,再从乙箱中取出一个杯子,求取到白色杯子的概率。
(2) 若(1)题中从乙箱取出的是白色杯子,求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。
解 用B 表示事件:“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”;
A 表示事件:
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”; A 表示事件:
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。 (1)由全概率公式,所求事件的概率为:
5332527
()()(|)()(|).8686161616
P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=+= (7分)
(2)由贝叶斯公式,所求事件的概率为:
32()(|)2
86(|).77()(|)()(|)
16P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯
===+ (12
分)
四、计算题(本题8分)
设随机变量ξ服从正态分布(2)N 2,2,求(|2|2)P ξ-<及(1)P ξ>。 解 由于~(2)N ξ2,2,则2
~(0)2
N ξη-=
,1。于是
02
2
(|2|2)(|
|)(||1)
22
2(1)120.841310.6826. 4P P P ξξη--<=<=<=Φ-=⨯-=(分)
00212
(1)(
)(0.5)1(0.5)
22
1(0.5)(0.5)0.6915. 8P P P P ξξηη-->=>
=>-=-≤-=-Φ-=Φ=(分)
五、证明题(本题10分)
设总体ξ的概率密度函数为22
()2()x x βδϕ--=(,0δβδ>为参数,且),
12(,,,)n x x x ⋅⋅⋅为总体ξ的一组样本观察值。试证明2δ的最大似然估计为
221
1ˆ()n i i x x n δ==
-∑,其中x 为样本观察值
12(,,,)n x x x ⋅⋅⋅的平均数。
证明 似然函数为 22
2
2
1
1()()222
21()n
i i i x n
x n
n i L e
ββδδ
δ
=--
--
=∑==⋅,
22
21
1ln ln ()
22n
i
i n L n x δβδ==---∑, (3分)
2
2
224
1
1
ln 1
ln 1
(),
()
.22n
n
i
i
i i L L n x x βββδ
δδδ==∂∂=-=-+-∂∂∑∑
令2ln ln 0L L βδ∂∂==∂∂得: 21
224
11()01()0,22n
i i n
i i x n x βδβδ
δ==⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩∑∑ (7分)
由上述方程组解得2βδ及的最大似然估计分别为
11ˆn i i x x n β===∑, 22211
11ˆˆ()()n n
i i i i x x x n n δβ===-=-∑∑. (10分)
六、应用题(本题10分)
已知一批零件的长度(单位:dm )服从正态分布())N μ21
,(5
,从中随机抽