高考数学复习题库 椭圆

高考数学复习题库椭圆

椭圆

一.选择题

1.椭圆＋＝1的离心率为( )

A. B. C. D. 解析∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝

8. ∴e＝＝. 答案 D

2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点

恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ). A.＋＝1 B.＋＝1 C.

＋＝1 D.＋＝1 解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c

＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝

1.答案 A

3.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( ). A. B. C. D. 解析先将

x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e

＝＝. 答案 A

4.设F

1.F2分别是椭圆＋y2＝1的左.右焦点，P是第一象限内该椭

圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( ). A.1 B. C.2 D. 解析由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象

限的交点，解方程组得点P的横坐标为. 答案 D

5. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方

程为，则这个椭圆的方程是（） A. B. C. D. 答案 D

6.若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 解析在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝

2.|F1F2|＝，∴e＝＝. 答案 A

7.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )

A. B. C. D. 解析根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为. 答案 B

二.填空题

8.设F

1.F2分别是椭圆＋＝1的左.右焦点，P为椭圆上一点，M是

F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________. 解析由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝

6.∴|PF1|＝2×5－6＝

4. 答案4

9.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________. 解析如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°

＝c，BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故c＋c＝2a，所以e＝＝＝－

1.答案－110.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________. 解析由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋

2. 令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2). ∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝

1.答案＋＝111.已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b ＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________. 解析设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)· (c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2① 将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈. 答案1

2. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍. 解析不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|. 答案7

三.解答题13.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左.右焦点.

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；

（2）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围. 解析

(1)由题意知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0). 设P(x，y)(x>0，y>0)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y). 由·＝－，得x2＋y2－3＝－. 联立解得点P(1，).

（2）可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. 由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>. ① 又y1·y2＝(kx1＋

2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0. 即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k(－)＋4＝>0. 所以－

4. ② 由①②可知

－)∪(，2).14.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P 在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 解

析

(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得

∵P在圆上，∴x2＋2＝25，即C的方程为＋＝