高中数学必修一函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练

１、已知关于x 的不等式2

(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。

⑴试求不等式的解集A ；

⑵对于不等式的解集A ，若满足A

Z B =（其中Z 为整数集）

。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；

② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2

()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x

g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

3.已知函数||2

12)(x x x f -

=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；

（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.

4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，1

1,()0,f x x

⎧-⎪=⎨⎪⎩

0;

0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.

（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.

（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.

（4）若关于x 的方程0)()(2

=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)||

b

f x a x x =-

≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；

（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是

[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探

求,a b 应满足的条件。

6、设bx ax x f +=

2)(，

求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。

7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。

（1）已知函数)0()(2

≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （2）若对于任意实数b ，函数)0()(2

≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。 8．设函数)0(1

)(≠+

=x x

x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .

（1）求函数)(x g y =的解析式；

（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：

①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ⋅=+-； ②(2)0f =；

③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)2

1

()1(f f 及的值；

（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.

10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3

2

1)(x tx x f -=（t 为常数）。

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)

(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。 11.记函数()2

7

2++-

=

x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，

（1）求A ： （2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围

12、设()()1,011

≠>-+=a a a

a x f x

x 。 （1）求()x f 的反函数()x f 1

-：

（2）讨论()x f

1

-在()∞+.1上的单调性，并加以证明：

（3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞⊂,1,时，()x f

1

-在[]n m ,上的值域是

()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。

13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：

(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；

(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：

（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21()46()(0)2

x f x x =-⋅≥是否属于集合A ？并简要说明理由．

（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，

是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论． 14、设函数f(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎩⎨

⎧<->)

0()()

0()(x x f x x f

（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。 15．函数f(x)=

b

ax x

+(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。

(1)求a 、b 的值；

(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。