二重积分计算法
二重积分的计算法
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
I=
x ( y) f ( x , y)dx x ( y )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I=
y ( x) f ( x, y)dy y ( x )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x)
axb
y
d y
x1 (y)
c
cyd
z
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y) d I = c Q( y)dy
x
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
0
c
Q( y) x=(y)
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
D
x y2 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点
y
y x2
x (1,1)
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分计算法
解 (1)先去掉绝对值符号 如图 先去掉绝对值符号,如图 先去掉绝对值符号
y
y =x2
∫∫ D
D 1 1
先对y积分简单 先对 积分简单 y x2 dσ
1
2
1
D D2 D1 D2
O
1 1
+ ∫∫ ( x2 y)dσ = ∫∫ ( y x )dσ
D2
1 2
1 x2
x
= ∫ dx ∫ 2 ( y x )dy + ∫ dx ∫
∫0 dx ∫0
a
a
a
x
f ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
= ∫ f ( y ) x dy = ∫ (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
= ∫ (a x ) f ( x )dx
0
证毕. 证毕
计算二重积分
D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 解 设D1 = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x},
r = (θ) θ
(1,1)
1
1
y= x
x
y
∫0
1
dx ∫ sin y 2dy
x
1
(1,1)
= ∫0 dy∫0 sin y dx
2
1
y
y= x
= ∫ (sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y
o
= ∫ y sin y 2dy
0
0 1
二重积分的计算法
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
§9[1].2二重积分的计算法
![§9[1].2二重积分的计算法](https://img.taocdn.com/s3/m/51e2566ea98271fe910ef9ea.png)
dxdy ,其中D: x 2
2
y
2
a
2
2
y
R x y
D
2
2
e
e
0
dxdy x
dx
2
D
e
r
2
rdrd
y
a
2
a
0
d
0
e
r
2
rdr (1 e
x
2
)
0
D1
e
x y
2
2
dxdy
S
e
x y
2
2
2
( ) d
2
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x
o
x
( 2)
答: (1) 0 ;
2
2
例1 计算 e
R
2
x y
R
2
2
e x 2 dx (1 e 2 R 2 ) D (1 e ) 4 解 D : 0 r a ,0 0 2 4
D
O
ri
ri ri
r
3。化为二次积分公式
I
r r1 ( )
r r 2 ( )
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用二重积分的计算方法及其在面积、质量等问题中的应用二重积分是微积分中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学等。
本文将介绍二重积分的计算方法，并探讨其在面积、质量等问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分表示在平面上对一个二元函数在某个有限区域上的积分。
计算二重积分的方法主要有以下两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来实现，即先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
设有二元函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(x, y)dxdy$$其中，$D$表示积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$投影到$xoy$平面得到$D'$，确定$D'$的边界方程；2) 写出$x$在$D'$上的范围表达式，如$a(x)\leq x \leq b(x)$；3) 对$x$进行积分，得到$y$的积分上、下限，即$c \leq y \leq d$；4) 得到二重积分的计算公式：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \int_{a(x)}^{b(x)}\int_c^d f(x, y)dydx$$2. 极坐标系下的二重积分当积分区域具有较高的对称性时，采用极坐标系下的二重积分可以简化计算过程。
在极坐标系下，一个点的坐标由径向$r$和极角$\theta$表示。
设有二元函数$f(r, \theta)$，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$其中，$D$表示换算后的积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$由极坐标系给出，确定$r$的上、下限以及$\theta$的范围；2) 根据所给的积分区域，将被积函数$f(x, y)$转换为$f(r, \theta)$；3) 按照换元法，将直角坐标系下的被积函数$f(x, y)$转换为极坐标系下的被积函数$f(r, \theta)$；4) 利用换元后的公式计算二重积分：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$通过以上两种计算方法，可以灵活地计算二重积分，适用于不同的问题需求。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等。
理解和掌握二重积分的计算方法对于解决相关的实际问题和理论研究都至关重要。
二重积分的定义是在平面区域上对函数进行积分。
直观地说，它可以用来计算平面区域上某个量的总和，比如平面薄片的质量、平面区域的面积等。
那么，如何计算二重积分呢？常见的计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法是我们最常接触的方法之一。
当积分区域是由直线边界围成的矩形、三角形或者其他简单形状时，直角坐标法往往比较适用。
我们先来看 X 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（a\leq x\leqb\），＼（＼varphi_1(x)＼leq y\leq ＼varphi_2(x)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{a}＾｛b}dx ＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) dy＼这里要先对＼（y\）积分，再对＼（x\）积分。
再来看 Y 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{c}＾｛d}dy ＼int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y) dx＼在使用直角坐标法计算二重积分时，关键是要正确确定积分区域的类型，以及积分的上下限。
接下来我们说一说极坐标法。
当积分区域具有圆形、扇形或者是与圆相关的形状时，极坐标法通常会更加简便。
在极坐标系中，点用＼（（＼rho,＼theta)＼）表示，其中＼（＼rho\）表示点到原点的距离，＼（＼theta\）表示极角。
如果积分区域可以表示为＼（＼alpha\leq\theta\leq\beta\），＼（＼varphi_1(＼theta)＼leq\rho\leq\varphi_2(＼theta)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}d\theta ＼int_{＼varphi_1(＼theta)｝＾｛＼varphi_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta,＼rho\sin\theta)＼rho d\rho＼在极坐标法中，要注意＼（＼rho\）的积分上下限以及函数在极坐标下的表达式。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法1. 引言1.1 引入二重积分的概念二重积分是微积分中重要的概念之一，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
在引入二重积分的概念之前，我们首先需要了解一元积分的概念。
一元积分是对一个变量在一个区间内的连续函数进行求和的过程，可以理解为对曲线下面积的计算。
而二重积分则是对二元函数在一个平面区域内的体积进行求和的过程，可以理解为对曲面下体积的计算。
在计算二重积分时，我们通常需要先确定积分的区域，然后选择合适的计算方法。
常见的计算方法包括直接计算法、先y后x换序法、先x后y换序法、极坐标换元法和矩形剖分法。
这些方法各有特点，适用于不同的情况。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更高效地计算二重积分，解决各种实际问题。
在接下来的内容中，我们将详细介绍这些计算方法，并探讨它们的应用场景和选择技巧。
希望通过本文的学习，读者能够更加深入地理解二重积分的概念，提升自己的数学水平。
1.2 二重积分的计算方法二重积分是对平面上的二元函数在一个闭区域上的积分，可以看作是对三维空间中某个体积的加权求和。
在计算二重积分时，我们需要掌握一些计算方法来简化运算。
二重积分的计算方法主要包括直接计算法、先y后x换序法、先x 后y换序法、极坐标换元法和矩形剖分法。
直接计算法是最基本的方法，即按照积分的定义直接进行计算，但当被积函数较为复杂时，这种方法会显得繁琐。
而先y后x换序法和先x后y换序法则是在积分区域不规则或者函数对称性较强时的常用技巧，可以简化计算过程。
极坐标换元法适用于极坐标下的问题，可以将复杂的积分转化为简单的极坐标形式进行计算。
矩形剖分法则是将积分区域进行分割，逐个小区域进行计算，最后将结果相加得到整个区域的积分值。
掌握这些计算方法可以更高效地求解二重积分，提高计算的准确性和速度。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的计算方法是非常重要的，可以大大简化问题的复杂度，提高计算的效率。
2. 正文2.1 直接计算法直接计算法是计算二重积分的一种简便方法，适用于一些简单且直观的情况。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。
其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。
接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。
其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。
在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。
除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。
不同的坐标系下，二重积分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小区域的面积和进行求和。
在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差等统计量。
因此，掌握二重积分的计算方法对于深入理解微积分的应用具有重要意义。
总之，二重积分的计算方法是微积分中的重要内容，通过对不同坐标系下的二重积分进行计算，可以更好地解决实际问题。
希望本文对读者对二重积分的计算方法有所帮助。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
二重积分的计算法
即等于两个定积分的乘积.
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. (3)积分区域D既是X型:
y
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x )
又是Y型:
二重积分的计算法
2 2 x y 2 2 说明: 当f (x, y )在所考虑的区域上连续时 , 当 x y 0, 时, 2 2 2 例如: 设f ( x , y ) ( x y ) 二次积分可以交换积分次序 . 2 2 当x y 0时. 0, 1 1 I1 dx f ( x , y )dy , 0 0 4 1 1 x I 2 dy f ( x , y )dx , 由于 2 2 f ( x , y ), 0 0 x x y 1 1 1 x x 1 故 f ( x , y ) dx 2 dx 2 2 2 2; 0 0 x x y x y 0 1 y 1 1 1 1 1 所以 I 2 dy f ( x , y )dx d y arctan y 0 2 0 0 0 1 y 1 1 1 1 . 0 dx 0 f ( x, y )dy 0 dy 0 f ( x, y )dx. 18 4
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法二重积分是在二维平面上对一些区域上的函数进行求和的操作。
它可以用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量，也可以用于解决求解二元函数的平均值、概率密度等问题。
在本文中，我们将讨论二重积分的概念以及几种常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的一个闭区域D上的函数f(x,y)进行求和的操作，可以表示为：∬Df(x,y)dA其中D表示区域D上的面积，f(x,y)表示在点(x,y)上的函数值，dA 表示在D上的一个微小面积元素。
对于二重积分的计算，可以分为定积分和区域积分两种方法。
定积分的计算是将区域D划分成许多小的矩形面积，并将这些小矩形的面积乘以对应的函数值求和。
区域积分的计算是将区域D分成许多小的曲面元素，并将这些小曲面的面积乘以对应的函数值求和。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，我们可以通过在区域D上设置两个变量x和y，将原来的二重积分转化为两个一重积分的问题。
将区域D分成许多小的矩形面积，每个小矩形的面积为ΔA，左下角的坐标为(x,y)，则我们可以得到二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dA = lim ΔA→0 Σ f(x,y)ΔA其中Σ表示对所有小矩形面积求和。
对于简单的区域D，我们可以直接通过计算极限来求解二重积分。
但对于较为复杂的区域D，可以使用变量替换、拆分区域等方法来简化计算过程。
2.极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，我们可以通过引入极角θ和极径ρ，将二重积分转化为极坐标下的一重积分问题。
区域D可以用极坐标表示为：D={(ρ,θ)，α≤θ≤β，g(θ)≤ρ≤h(θ)}。
对于极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D f(x,y) dA = ∫βα ∫h(θ)g(θ) f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ。
通过将二重积分转化为极坐标系下的一重积分问题，可以简化复杂区域的计算过程。
3.坐标变换方法对于一些特殊的区域D，我们可以通过坐标变换来简化二重积分的计算过程。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分简便计算方法
二重积分简便计算方法
二重积分是微积分中的一种重要概念，用于计算平面图形内某一量的值。
但是，对于一些简单的图形，可以使用一些简便的方法来计算二重积分，大大缩短计算时间。
下面介绍几种二重积分简便计算方法。
1. 极坐标变换法
当被积函数在极坐标下具有简单的形式时，可以使用极坐标变换法来简化计算。
具体步骤如下：
（1）将直角坐标系下的积分区域用极坐标方程表示出来；
（2）求出相应的极坐标变换的雅可比行列式；
（3）将被积函数用极坐标表示；
（4）代入二重积分公式进行计算。
2. 对称性法
当积分区域具有对称性时，可以使用对称性法来简化计算。
具体步骤
如下：
（1）利用对称性将积分区域分成若干个部分；
（2）计算其中一部分的积分，然后将结果乘以对称部分的个数。
3. 矩形分割法
当积分区域为矩形形状时，可以使用矩形分割法来简化计算。
具体步骤如下：
（1）将积分区域分成若干个矩形；
（2）对每个矩形进行二重积分的计算，然后将结果相加。
以上三种方法是二重积分常用的简便计算方法，掌握这些方法可以在解决问题时事半功倍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
如果D是Y型区域 D{(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd}, 则
f (x, y)d
d
[
y 2(y)
f
(x, y)dx]dy
D
c y1(y)
d
dy
y 2 ( y)
f
(x, y)dx
.
c y1(y)
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
00
提示 由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积的8倍.
第一卦限部分是以区域D {(x, y)|0 y R2 x2,0 x R} 为底
为底, 以曲面z R2 x2 顶的曲顶柱体.
【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围 成的立体的体积.
解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2y2R2及x2z2R2.
1 2
i2
qi
1 2
(2i
i
)i
qi
i
(i
2
i)
i
qi
q . iii
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
.
曲顶柱体体积为
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf0(x, ,
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
j 2 (x0 ) j1(x0 )
f (x0, y)dy
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域i的面积为
i
1 2
(i
i
)2
qi
1 2
i2
qi
iiqi
,
其中 表示相邻两圆弧的半径的平均值. i
提示
i
1 2
(i
i
)2
qi
【例1】计算 xyd ，其中D是由直线 y 1, x 2 D 及y x所围成的区域。
外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下 限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积 分变量有关。
⑶两种特殊情形
若D {(x, y) | a x b, c y c}则积分顺序可交换
f (x, y)dxdy=
二重积分的计算法
——化二重积分为两次定积分 一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
一、直角坐标系下二重积分的计算
①积分区域D为X—型区域 ②积分区域D为Y—型区域 ③积分区域D 既是X—型，也是Y—型 ④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型
①积分区域D为X—型区域
如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),
b
dx
d f ( x, y)dy=
d
dy
a
f (x, y)dx
a
c
c
b
D
若f ( x, y) g ( x) h( y)
g(x)h( y)dxdy=
b
dx
d g ( x)h( y)dy=[
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
先对x后对y
的二次积分
★注意：
⑴积分区域的形状：对于X—型（或Y—型）
直线 x x0 (a x0 b)与D的边界至多有两个交点 直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
⑵积分限的确定
对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由 下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积 分的下（上）限。
【例2】计算 xyd ，其中D是由直线 y x 2
D
及抛物线 y2 x 所围成的区域。
【例3】计算 y 1 x2 y2d，其中D是由直线
D
y 1, x 1 及 y x所围成的区域。
★注意积分次序的选择
【例4】求 eb2x2 dxdy
D
其中
D
{(x,
y)
|
0
y
b
x, 0
x
a}
a
所求立体的体积为
V 8 R2 x2 d
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
00
R
8 [
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
解：
eb2x2 dxdy
a
dx
b a
x
eபைடு நூலகம்2
x2
dy
0
0
D
b a xeb2x2 dx 1 (ea2b2 1)
a0
2ab
若先对x再对y就求不出来
【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围 成的立体的体积.
解 设这两个圆柱面的方程分别为
x2y2R2及x2z2R2. 所求立体的体积为
V 8 R2 x2 d
y)
y)
为z曲f(x边, y的)为曲顶边, 以梯区形域. D为底的曲顶柱体的体积.
❖二重积分的计算
如果D是X型区域 D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}, 则
f (x, y)d
上式也可D以记为
b
[
j 2 ( x)
f (x, y)dy]dx .
a j1(x)
先对y后对x
的二次积分
axb,则称区域D为X型区域.
x0
x0
直线 x x0 (a x0 b)与D的边界至多有两个交点
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
如果D是Y型区域 y1(y)xy2(y), cyd, 则
f (x, y)d
d
[
y 2(y)
f
(x, y)dx]dy
.
D
c y1(y)
(4)计算二次积分.