2020中考数学专题1——几何模型之双子型-含答案

◆条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，将△OCD 旋转至右图位置

◆结论：右图中①△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB；

③点 E 在△OAB 的外接圆上.

【模型解析】

2020 中考专题 1——几何模型之双子型

班级姓名.

【例题分析】

例1.如图1，直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0),以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x 正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA 交y 轴于点E．

(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；

(2)着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由．

图 1

◆条件：△OAB,△OCD 均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD

◆结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；③∠AEB=∠AOB；④OE平分∠AED(或

∠AED的外角）；⑤点E在△OAB的外接圆上.

3

例2.如图 2-1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°,cosC＝

5

,点

6

D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接DE，

AE

将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时,

仅就图2-2 的情况给出证明．

图2-1 图2-2

的大小有无变化？请

BD

例3．如图3 所示，在四边形ABCD 中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD 的长为．

图3 图4

例4.如图4，在△ABC 中,∠ABC＝60°,AB＝2 ，BC＝8，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰△ACD,

且∠DAC＝120°,则BD 的长为.

【巩固练习】

1.如图1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O 为AC 中点，

若点D 在直线BC 上运动，连接OE，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（）A

1

B．C．1

．

2 2

图1 图2

2.如图2,△ABC 为等边三角形,AB＝2,点D 为BC 边上的动点,连接AD,以AD 为一边向右作等边△ADE,连接CE. (1)在点D 从点B 运动到点C 的过程中,点E 运动的路径长为;

(2)在点D 的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD 的长,若不存在,请说明理由.

(3)取AC 中点P,连接PE,在点D 的运动过程中,求PE 的最小值.

2

D． 2

3.在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图3-1，当点C1在线段C A的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图3-2，连接AA1,CC1．若△A1BA1的面积为4，求△CBC1的面积；

图3-1 图3-2

4.【提出问题】

（1）如图4-1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM 为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．

【类比探究】

（2）如图4-2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN 还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图4-3，在等腰△ABC 中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

图4-1 图4-2 图4-3

5.如图5，正方形ABCD、BGFE 边长分别为2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线AE、GC 相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；

（2）连接DH、BH，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，求DH 的最大值；

图5 备用图

6.如图6-1，已知点A(0,－3)和x 轴上的动点C(m,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．

（1）在C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图6-2，将△BCD 沿CD 翻折得△ECD,当点C 在x 轴上运动时，设点E(x,y),请你用m 来表示点E 的坐标并求出点E 运动时所在图象的解析式．

（3）在C 点运动的过程中，当m 时，直接写出△ABD 是等腰三角形时E 点的坐标．图1 图2

3

7.【问题探究】（1）如图7-1，锐角△ABC 中分别以AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰

△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图7-2，四边形ABCD 中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD 的长．（3）如图7-3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．

图7-1 图7-2 图7-3

8.(1)如图8-1，已知△ABC,以AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；

（2）如图8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD 的长；

（3）如图8-3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝4

,B D＝5,AD＝12，求BD 3

的长．

图8-1 图8-2 图8-3