第二部分时间序列分析

由此,含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下 :
Yt c 1Yt1 2Yt2 ...... kYtk ut , ut IID(0, )
上述方程可以用OLS估计吗?
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VAR模型的特点：
• （1）不以严格的经济理论为依据。
– ①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的 变量包括在VAR模型中；
第二部分时间序列分析
内容安排
• 一、向量自回归模型定义 • 二、VAR的稳定性 • 三、VAR模型滞后期k的选择 • 四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 • 五、格兰杰非因果性检验 • 六、VAR与协整 • 七、实例
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2
1953—1997年我国 Lngp,Lncp,Lnip
uˆ
t
2
k
log T
T
T
E view的 计 算 公 式 为
SC
2
lo g T
L
k log T T
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例
• k =1、2、3、4时的logL、Akaike AIC和
Schwarz SC的值见下表。
VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4)
logL
-2 (log L(k) - log L(k+1) )
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2、用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。
A IC lo g
T t
1
uˆ
t
2
2k
T
T
E view的 计 算 公 式 是 :
A IC
-2
lo g T
L
2k T
• 3．用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。
SC log
T t
1
两个变量y1t, y2t滞后1期的VAR模型为例:
y1,t c1 y 11.1 1,t1 y 12.1 2,t1 u1t y2,t c2 y 21.1 1,t1 y 22.1 2,t1 u2t 其中u1t,u2t IID(0,2),cov(u1t,u2t ) 0
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写成矩阵形式是 :
Yt表示成了漂移向量c,初始值向量Y0和新息向量ut的函数,
则系统是否稳定可以通过观察漂移向量c,初始值向量Y0
和新息向量ut经受冲击后的再现.
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假定模型是稳定的，将有如下3个结论
• （1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击， 那么到t期的影响是
( I 1 1 2 . . . 1 t 1 ) 当 t 时 , 此 影 响 是 一 个 有 限 值 , ( I 1 ) 1
• 例：2阶VAR的友矩阵变换为例
IAL 0 I
0 I I1 02 LI I L 1L
2L
I
|I1L2L2|0的 全 部 根 必 须 在 单 位 圆 以 外 .
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5、VAR稳定性的EVIEW操作
• 求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR 模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, AR Roots Table 功能，即可得 到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可 得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根 的位置图。
Akaike AIC
Schwarz SC
184.6 28.6
-7.84 -7.36
198.9 2.2
-8.27 -7.41
200.0
207.8
15.6 2(9) = 16.9
-8.09 -6.85
-8.23 -6.6
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VAR滞后期的EVIEW操作
• 在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到5个评价统计量的值。
• （6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做
样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，
而对短期波动预测不云南理大学想发民。研究院
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估计VAR的EVIEW操作
• 打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。 作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。在 VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation 功能可得到VAR的代数式输出结果。
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注意的问题
• （1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2， 所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ 。
• （2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程
(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程 稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根
1、单方程情形
AR(2)
yt 1yt12yt2ut
改写为(1-1L2L2)yt Lyt ut yt稳定的条件是L0的根据必须在单位圆以外
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2、VAR 模型
• Yt=+1Yt-1+ut为例 • 改写为：（I- 1L）Yt=+ut • VAR模型稳定的条件是特征方程|1-λI|=0
• VAR模型是自回归模型的联立形式，所以 称向量自回归模型。
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假 设 y1t,y2t之 间 存 在 关 系 ,若 分 别 建 立 两 个 回 归 模 型 y1,t f(y1,t1,y1,t2,......) y2,t f(y2,t1,y2,t2,......)
产生的问题是什么? 无法捕捉两个变量之间的关系 解决办法:建立两个变量之间的关系
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6、VAR模型的稳定性特征
• 稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中 某一个方程的新息（innovation）过程上时，随 着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是 不消失，则系统是不稳定的。
Yt c 1Yt1 ut 采用迭代方式计算, 对于t期,则有
t1
Yt (I 1 12 ...1t1)c1tY0 1iuti i0
的单位圆以内，特征方程|1-λI|=0的根就 是1的特征值。
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例：N=1，k=1时的VAR模型
y y
1t 2t
•=
5 / 8 1/ 4
1/ 2 5 / 8
y1,t1
y
2
,t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
+
u u
1t 2t
| I - 1L |
1 0 (5/8)L (1/2)L 1(5/8)L (1/2)L 0 1(1/4)L (5/8)L(1/4)L 1(5/8)L (1(5/8)L)21/8L2(10.987L)(10.27L)0
U t ut
0
0
...
0 N K 1
上 式 可 写 为 Yt C A Yt 1 U 云t 南大学发民研究院
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VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方
程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的 特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。 注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中 的I也是NkNk阶的
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0.8
10
0.4
9 0.0
8 -0.4
7 -0.8
6
-1.2 5
4 55 60 65 70 75 80 85 90 95
LNGP
LNCP
LNIP
-1.6 55 60 65 70 75 80 85 90 95
DLNGP
DLNCP
DLNIP
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一、向量自回归模型定义
• 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。
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四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解
•1、脉冲响应函数
• 脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反 应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加 一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和 未来值所带来的影响。
• 对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限 阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个
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Yt
c
Π1 Π2
Y t 1
0
I
0
Yt2
0
0
I
Y t k 1 N K 1 0 N K 1 0 0
令 Yt (Yt , Yt 1 , Yt 2 ....Yt k 1 )N K 1
C (c , 0, 0 ....0 )NK 1
Π k 1 Π k
都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征
方程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型 稳定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单 位圆以内，或相反的特征方程|I–L1|=0的根都要
在单位圆以外。
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4、K>1的VAR模型稳定性
• 对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换
求 解 得 :
L11/0.9781.022 L21/0.27
因 为 ,L1,L2都 大 于 1,则 对 应 云的 南大V学A发R民模 研究型 院是 稳 定 的 .
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3、VAR模型稳定性的另一判别 法
• 特征方程 | 1L -λL的|=0根都在单位圆以内。特 征方程的根就是П1的特征值。
• 上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714
• (2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t 期的影响是 1t。随着t ，1t 0，影响消 失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于 1，所以随着t ，取t次方后，1t 0）。
t1
(3)从 1iuti项 可 以 看 出 ,白 噪 声 的 冲 击 离 t期 越 远 ,影 响 力 就 越 小 . i0
（companion form），改写成1阶分块矩阵的 VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳 定性。
• 给出K阶VAR模型：
• Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut • 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2 … • Yt-k+1=Yt- k+1
• 将以上K个等式写成分块矩阵形式
• VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态 解）。
• VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make
Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接
t1
t-1
1i (I )1称 作 长 期 乘 子 矩 阵 ,是 对 1 iuti求 期 望 得 到 的 .
i0
i0
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三、VAR模型滞后期k的选择
• 1、用LR统计量选择k值。LR（似然比）
统计量定义为
LR2(logL(k) logL(k1))2(N2)
当VAR模型滞后期变量的增加不会给极大似然 值带来显著性增大时,即LR统计量的值小于临界 值时,新增加的滞后变量对VAR模型毫无意义.
双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的
Solution option（求解选择）中选择Dynamic
solution（动态解）。
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二、VAR的稳定性
• VAR模型稳定的充分与必要条件是Π1 的所有特征 值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为 虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的 圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。
y1t y2t
=
c1 c2
+
11.1 21.1
12.1 22.1
y1,t 1 y2,t 1
+
u1t
u2
t
设
Yt
=
y1t y2t
,C=
c1
c2
, 1
11.1 21.1
12.1 22.1
,
ut
u1t
u2
t
则Yt c 1Yt1 ut
– ②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互
影响的绝大部分。
• （2）VAR模型对参数不施加零约束。
• （3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量， 所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都 不存在。
• （4）有相当多的参数需要估计。当样本容量较小 时，多数参数的估计量误差较大。
• （5）无约束VAR模型的应用之一是预测。
Yt1
ut
0
0
Y
t
2
0
0 0
Y
t
3
0
I
0 N K N K Y t k N K 1 0 N K 1
1 2 ... k 1 k
I
0 ...
0
0
A 0 I ... 0 0
...
... ...
...
...
0 0 ... I
0 N K N K
VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个
VAR(1)模型
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Yt A1 Yt -1 U t (I - L A 1) Yt U t Y t ( I - L A 1 ) -1 U t U t A1U t -1 A1 2U t - 2 A1 sU t - s 因 此 ,V A R (k )可 以 写 成 一 个 无 限 阶 的 向 量 M A( )