第十章刚体一般运动

vP ω rOP
a aR aN α rOP ω vP α rOP ω (ω rOP )
一般运动刚体上任意点的速度与加速度
va ve vr vO ω rP
a ae ar aO aR aN aO α rP ω (ω rP )
结论与讨论
特定的运动形式， 特定的分析方法
一般运动刚体上任意点的速度与加速度
结论与讨论
刚体连续作定点运动的过程中，连续变化的 瞬轴在定参考系中所形成的轨迹面，称为定瞬 轴锥面。
刚体连续作定点运动的过程中，连续变化的 瞬轴在动参考系中所形成的轨迹面，称为动瞬 轴锥面。
结论与讨论
结论与讨论
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定系：O x y z
z´
平移系：A x´y´z´
Pω1 vA
y´ y
A
圆盘的运动：跟随基点A的 平移和绕基点A的转动
应用矢量向一点平移理论，将
角速度矢量ω1向基点A平移,得到：
vA ω1 rOA 1k lj 1li
解：圆盘的角速度和角加速度
角速度
z
z´
ω ω1 vA ω ω1 ω2 1k 2i
vO oosin vO oo 1
1 const sin
ω
O
vC ω rC
ω1 rC
C
vC
C
O´ B
A
C*
A
vC rC sin 2 2l1
α
dω dt
ω1 ω
1 sin( 90 ) 12 cot
a1 α rC
ω
a1 C
vC
ω1 rC
C
O
a2 ω vC
已知锥底圆心C处的vC为 常数。
求：圆锥体的角速度和角
加速度.
y x
解：圆锥体绕定点O作定点运动。 定系Oηξζ 动系O x y z 绝对运动－定点运动
牵连运动－ O x y z绕ζ轴作定轴转动： 1＝ e 相对运动－ 圆锥体绕 O z 轴作定轴转动： 2＝ r
解：圆锥体绕定点O作 定点运动。
结论与讨论
角速度与角加速度的关系－变矢量导数的应 用
绕相交轴转动时的角速度合成定理
ω ω1 ω2 ωe ωr
绕相交轴转动，并且为规则进动时的角加速度
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
绕相交轴转动，但不是规则进动时的角加速度
α ＝αe＋αr＋ωe ωr
定点运动刚体上任意点的速度与加速度
v＝ωrsin( ,r) ωh
h为M点到瞬轴的垂直距离
加速度
a＝dv dω r ω dr α r ω v
dt dt
dt
a a1 a2
C*
a1=a×r
—— 转动加速度
90o a2
M h ω
a2=ω × v ——向轴加速度 a1=αrsin (α ,r)=ω h΄
r va1
a2= ω vsin (ω ,v)=ω2 h΄
绝对运动－ 一般运动 牵连运动－ 基点O´的平移 相对运动－ 绕O´点的定点 运动
空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度：
´
z
x´ O´
´
O
x
N＝3＋3＝6
z´
广义坐标为：
´ y´
q =(xO´, yO´, zO´, , , )
运动方程为： y
xO' f1 (t) , yO' f 2 (t) , zO' f3 (t)
第10章 刚体定点运动、刚体一般运动 刚体运动的合成
刚体定点运动的工程实例与基本概念 刚体绕定点运动 自由刚体运动 刚体绕相交轴转动的合成 结论与讨论
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
刚体定点运动的工程实例与基本概 念
刚体定点运动的工程实例与基本概念
212
i
12lj
2 2
Rk
§10-3 刚体绕相交轴转动时的角速度合成定理
C*
ω ω1
ω2
O
刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动 可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相 交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴的 角速度等于分别绕二相交轴转动角速 度的矢量和,合矢量的所在位置即为瞬 轴位置。
ω ＝ ω1＋ ω2
其中ω1和 ω2可以分别为牵连角速度 ωe或相对角速度ωr 。
定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一
瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚 体绕一系列瞬轴的转动过程。
角加速度
定点运动刚体角速度矢量 对时间的导数
称为定点运动刚体的角加速度。
根据变矢量的导数定义
α
dω dt
dω~ dt
ωe
ω
dω~ －相对导数， 相对于动系的变化率； dt
ωe －动系的转动角速度。
aa＝ ae ＋ar＝ aO´+ a1+ a2＝ aO´+ × rP´ + ω ×vr
例题4
图示机构中，摇臂OA以等角速度ω1绕铅垂轴转 动，半径为R的圆盘以等角速度ω2相对于摇臂转
动。 OA＝l 。
求：1、圆盘的角速度和角加速度； 2、圆盘上P点的速度和加速度。
z
ω1 ω2
O
rOA
O
x
x´
解：基点：A
绕 x 轴转900
y
x z
绕 x 轴转900
x y
z
绕 z 轴转900
例题1
z 矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。
求：（1）连体在转动前后位置间的 方向余弦矩阵；
（2）有限转动轴的位置及转过的角度。
解：由图示转动关系有
e0 A e1
O
i0 0 1 0i
j0
0
0
1
j
x
k0
1
0
0 k
a2
O´ B
A
C*
A
a1
rC 12 cot
l
cos
l
sin
12
a2
vC
1 sin
2l1
2l
sin
12
§10-2 自由刚体的运动
刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点 的平移和相对于基点的定点转动。
´ z´
z
x´ O´
´
y´
´
O
x
y
基点： O´点
定系： O x y z
平移系： O´ ´ ´ ´ 结体系： O´x´y´z ´
转动轴矢量 p 可用不同的连体基 e0 和 e1 表示为
p e0T p(0) e1T p(1) p(0) Ap(1)
i0 i1
A e0 e1T
j0 i1
k0 i1
i0 j1 j0 j1 k0 j1
i0 k1
j0
k1
k0 k1
由于e1 是e0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转 动轴基矢量 p 相对e1 和 e0 必有相同的坐标p1 ， p2， p3 ，即
va ＝ ve+ vr＝vO´＋
rP´
aa＝＝ ＝
ae ＋ar aO´+ aR+ aO´+
aN vr+
rP´
结论与讨论
刚体定点运动，在每一瞬时都存在一通过 定点的瞬轴，刚体的瞬时运动，就是绕瞬 轴以瞬时角速度 ω 作瞬时转动。
刚体绕定点的连续运动，就是绕连续变化 的瞬轴，以连续变化的瞬时角速度作连续 转动。
C*C
´
O
假设从 t 到 t+ t 的 t 时间间隔内定 点运动刚体绕通过定点O的OC轴转过
，这时转动角速度为 ´；当 t →0
时，转动轴则由 OC 轴→ OC* 轴。 OC* 轴称为t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的
角速度 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角
速度。
瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在 空间的方位以及刚体上的位置各不相同。
运动方程
(t)， (t)， (t)确定了瞬时 t 定点运动刚
体在空间的位置。
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O O
欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用
O
O
x
2. 欧拉定理
刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定 点的某一轴的一次转动实现。
有限转动轴位置和有限转动角
k0
i0
j0
i
y
k j
0 1 0 A 0 0 1
1 0 0
由 (A E)p 0 p12 p22 p32 1
解得
p1 p2 p3
3 3
z k0
i0
j0
O
i
y
由
arccos
1 2
(trA
1)
x
k j
解得 120
n 3 (i j k), 120
3
3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度
定点运动刚体角速度矢量与角加速度矢量 一般 情形下不共线。
角加速度矢量的方向
dr v dt
dω α dt
vv vv
rr
r
O
O
定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不 同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。
例题2
高度为h、底半径为r的
圆锥体，以顶点O为定点
在水平面上作纯滚动。若
z
O a1的方向垂直于α 和r所组成的平面，指向
α 的转动方向；
a2同时垂直于 v 和 瞬轴，恒指向瞬轴。
例题3
半径为r的圆盘绕 轴作纯滚动，角速度为
ω1=常数；OO´轴的长度为 l 。求：A、B、C 三
点的速度和加速度。
ω
ω1
O
C
O´ B
A
C*
A
解：圆盘作纯滚动，与地面接触点A速度为0，A点为除定点以 外的另一个固定点。因此，通过OA的直线O C* 即为瞬轴。
§10-1 刚体绕定点运动
1 运动方程
ON－节线：O 坐标面与
Oxy坐标面的交线；
－进动角： ON与O 轴的 夹角;
－章动角： O 与Oz轴的
夹角;
－自转角： ON与Ox轴的
夹角;
、 、 －三者相互独立。
刚体作定点运动时， 三个欧拉角一般都随着 时间的变化而变化：
= (t),
= (t), = (t).
设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系 （ Ox0y0z0 ）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置 为（ Ox1y1z1 ）。将（ Oxyz ）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的 矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。连体基的转动前位置， 即定坐标系（ Ox0y0z0 ）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列 阵为e0 。转动后的连体基，即（ Ox1y1z1 ）的基矢量i1，j1，k1 排成的列阵为e1 。
p(1) p(0) Ap(1) 或写作 ( A E) p(1) 0
转动轴的位置由下列方程解得
( A E) p(1) 0 p12 p22 p32 1
转动角有以下计算公式
arccos
1 2
(trA 1)
有限转动次序的一可交换性
z y
x z y
x
z y x
绕 z 轴转900
y z
x
O
rOA
y´ y
O
A
x
ω2
x´
角加速度
α ω1 ω2 12 j
解：P点的速度和加速度
速度
z
vr ω
z´
P
vA vA
vP v A vr ω 1 rOA ω rAP 1li 2Rj
O
y´ y
O
A
x
x´
加速度
aP aA ar aA rAP ω vr
12lj 12 j Rk (1k 2i) (-2Rj)
f4 (t) , f2 (t) , f3 (t)
vO´－基点的绝对速度，
其余点的牵连速度
C*
z
´
z´
vr
ωP
va
x´ O´
rP´
v´e= vO´
vO´ y´
ω －刚体绕相对瞬轴转 动的角速度
vr － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的速度：
´
O
x
y
vr ω rP
va－绝对速度： va ve vr vO ω rP
dt
ωe＝ω
v r
α
dω dt
＝ωe
ω
α ddωt ＝ω ω
v ωr
e
α ωe ω
＝ e＋ r＝ ＋
α ＝ωe ω ωe (ωe ωr ) ωe ωr
α
＝ωe
ω
2tan
r2 h2 rh3
vC2
4. 刚体上各点的速度与加速度
速度
C*
90o
Mh ω
rv
O
v ωr
速度的大小由下式确定
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
纯滚动 OC*上各点速度为0
OC*为瞬轴，ξ
＝ vC vC AC rcos
r2 h2 rh
vC
＝常数
z
y
x
＝e ＝0 ＝ r
＝ e=常数
＝π －
2 ＝ r =常数
＝ e＋ r＝ ＋
规则进动
对于规则进动， 相对于动系为常矢量，
α
dω dt
dω~ dt
ωe
ω
dω~ ＝0
aO´－基点的绝对加速
度，其余点的牵
连加速度；
C*
ω －刚体绕相对瞬轴转
z
a2
动的角速度；
ω P a1
－刚体绕相对瞬轴转
O´
rP´ ae=aO´
aO´ O
动时的角加速度；
ar － 刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于结体 系的加速度：
x
y
ar＝ a1+ a2＝ × rP´ + ω ×vr
aa－绝对加速度：