第十章 刚体的一般运动

第10章刚体定点运动、刚体一般运动刚体运动的合成❒刚体定点运动的工程实例与基本概念❒刚体绕定点运动❒自由刚体运动❒刚体绕相交轴转动的合成❒结论与讨论ON －节线：O νγ坐标面与Oxy 坐标面的交线；ψ、θ、ϕ－三者相互独立。

ψ－进动角：ON 与O ν轴的夹角;θ－章动角：O φ与Oz 轴的夹角;ϕ－自转角：ON 与Ox 轴的夹角;§10-1刚体绕定点运动1 运动方程刚体作定点运动时，三个欧拉角一般都随着时间的变化而变化：ψ= ψ(t),θ= θ(t),ϕ= ϕ(t).运动方程ψ(t)，θ(t)，ϕ(t)确定了瞬时t 定点运动刚体在空间的位置。

γφOνγφOψψννγφO νγφO ψψψψθθνγφOψψθθνγφOψθθψxϕϕ欧拉角及其在刚体定点运动分析中的应用刚体定点运动的任何有限位移，都可以由绕通过定点的某一轴的一次转动实现。

2. 欧拉定理有限转动轴位置和有限转动角设刚体在转动前的连体坐标系（Oxyz）与定参考系（Oxy0z0）重合，刚体作有限转动后，随刚体到达的新位置为（Ox1y1z1）。

将（Oxyz）各坐标轴的基矢量i，j，k排成的矢量列阵记作e，称为刚体的连体基。

连体基的转动前位置，即定坐标系（Oxy0z0）各坐标轴的基矢量i0，j0，k0排成的列阵为e0。

转动后的连体基，即（Ox1y1z1）的基矢量i1，j1，k1排成的列阵为e1。

)1(1)0(0pe p e p T T ==转动轴矢量p 可用不同的连体基e 0 和e 1 表示为)1()0(ppA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=101010101010101010k k j k i k k j j j i j k i j i i i e e A T10由于e 1 是e 0 绕一次转动轴作定轴转动后到达的位置，则一次转动轴基矢量p 相对e 1 和e 0 必有相同的坐标p 1，p 2，p 3 ，即)()1()1()0()1(=-==pE A Appp或写作1)(232221)1(=++=-p p p pE A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)1tr (21arccos A γ转动轴的位置由下列方程解得转动角有以下计算公式有限转动次序的一可交换性zxyx zyxzy绕z轴转900xzy绕x轴转900xzy绕x轴转900zxy绕z轴转900xyzOkjij 0i 0k 0矩形板由铅垂位置转到水平位置，如图所示。

求：（1）连体在转动前后位置间的方向余弦矩阵；（2）有限转动轴的位置及转过的角度。

例题1解：由图示转动关系有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧k j i k j i 00110001000010e A e ⋅=xyzOkjij 0i 0k 0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001100010A 10)(232221=++=-p p p p E A 由解得33321===p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)1tr (21arccos A γ由解得120±=γ120),(33-=++=γk j i nOCC*ωω´3. 瞬时转动轴、角速度、角加速度假设从t 到t +∆t 的∆t 时间间隔内定点运动刚体绕通过定点O 的OC 轴转过∆β，这时转动角速度为ω´；当∆t →0时，转动轴则由OC 轴→OC* 轴。

OC* 轴称为t 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。

这时的角速度ω就是定点运动刚体在t 瞬时的角速度。

瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在空间的方位以及刚体上的位置各不相同。

定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚体绕一系列瞬轴的转动过程。

角加速度定点运动刚体角速度矢量ω对时间的导数α称为定点运动刚体的角加速度。

定点运动刚体角速度矢量ω与角加速度矢量α一般情形下不共线。

根据变矢量的导数定义－相对导数，ω相对于动系的变化率；－动系的转动角速度。

ωωωωα⨯+==e d ~d d d tt td ~d ωe ω角加速度矢量的方向r v vOωααω=td d v r =td d 定点运动刚体在不同瞬时的角速度矢量形成轨迹，不同瞬时角加速度矢量沿着这一轨迹的切线方向。

Ov v rr例题2高度为h、底半径为r的圆锥体，以顶点O为定点在水平面上作纯滚动。

若已知锥底圆心C处的vC 为常数。

求：圆锥体的角速度和角加速度.解：圆锥体绕定点O作定点运动。

动系O x y z定系Oηξζ绝对运动－定点运动牵连运动－O x y z绕ζ轴作定轴转动：ω1＝ωe相对运动－圆锥体绕O z 轴作定轴转动：ω2＝ωrxyzx yz解：圆锥体绕定点O作定点运动。

ωα纯滚动OC*上各点速度为0OC*为瞬轴，ξCCC vrhhrrvACv22cos+==βω＝＝常数x y z ωαωψ＝ωeωη＝0ωϕ＝ωr ωψ＝ωe =常数ωϕ＝ωr =常数βθ－＝2π规则进动ω＝ωe ＋ωr ＝ωψ＋ωϕ对于规则进动，ω相对于动系为常矢量，ωωωωα⨯+==e d ~d d d tt 0d ~d ＝t ωωωωα⨯=e d d ＝tψωω＝e ωωωα⨯=ψ＝t d d r v ωr ωv ⨯=αωe ωωωα⨯=er e r e e e )(ωωωωωωωα⨯=+⨯=⨯＝23222e tan C v rh h r ωωα+==⨯βω＝ω＝ωe ＋ωr ＝ωψ＋ωϕ4. 刚体上各点的速度与加速度速度O 速度的大小由下式确定C*ωr 90o h vM h 为M 点到瞬轴的垂直距离r ωv ⨯=hr v ωr ,ω=)sin(ω＝加速度O C*ωr v M 90o h αa 2a 1v ωr αr ωr ωv a ⨯+⨯=⨯+⨯=td d t d d t d d ＝21a a a +=a 1=a ×r ——转动加速度a 2=ω ×v ——向轴加速度a 1=αr sin (α,r )=ω h΄a 2= ω v sin (ω,v )=ω2h΄a 1的方向垂直于α和r 所组成的平面，指向α 的转动方向；a 2同时垂直于v 和瞬轴，恒指向瞬轴。

ω1φA CB 例题3半径为r 的圆盘绕φ轴作纯滚动，角速度为ω1=常数；OO ´轴的长度为l 。

求：A 、B 、C 三点的速度和加速度。

O O ´A ω解：圆盘作纯滚动，与地面接触点A 速度为0，A 点为除定点以外的另一个固定点。

因此，通过OA 的直线O C* 即为瞬轴。

C*θωθ⋅'='sin o o v O 1ω⋅'='o o v O const ==θωωsin 1ω1φA CB C*θO O ´A C r C v C C C r ωv ⨯=122sin ωθωl r v C C =⋅=ωωωα⨯==1d d tωαθωθωωαcot )90sin(211=-⋅=ω1φA CB ωC*θO O ´A C r Cv C αCr αa ⨯=1C v ωa ⨯=2a 1a 221211sin cos cot ωθθθωαl l r a C ==⋅=21112sin 22sin ωθωθωωl l v a C ==⋅=§10-2 自由刚体的运动刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点的平移和相对于基点的定点转动。

z x y O O ´z ´x ´y ´基点：O ´点定系：O x y z平移系：O ´ν´γ´φ´结体系：O ´x ´y ´z ´绝对运动－一般运动牵连运动－基点O ´的平移相对运动－绕O ´点的定点运动φ´ν´γ´空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度：N ＝3＋3＝6广义坐标为：q =(x O ´, y O ´,z O ´,ν,γ,φ)运动方程为：z x y O O ´z ´x ´y ´φ´ν´γ´)()(,)()()(,)(324321t f t f t f t f z t f y t f x O O O ======ϕθψ,,'''z x y O O ´z ´x ´y ´φ´ν´γ´v O ´C *ωP v O ´－基点的绝对速度，其余点的牵连速度ω－刚体绕相对瞬轴转动的角速度r P ´v e = v O ´v r v av r －刚体绕相对瞬轴转动时，相对于结体系的速度：v a －绝对速度：Pr r ωv '⨯=PO r e a r ωv v v v '⨯+=+='z x y O O ´C *a O ´ωP r P ´αa 1a 2a e =a O ´a O ´－基点的绝对加速度，其余点的牵连加速度；ω－刚体绕相对瞬轴转动的角速度；a r －刚体绕相对瞬轴转动时，相对于结体系的加速度：a r ＝a 1+ a 2＝α×r P ´+ ω×v ra a －绝对加速度：α－刚体绕相对瞬轴转动时的角加速度；a a ＝a e ＋a r ＝a O ´+ a 1+ a 2＝a O ´+α×r P ´+ ω×v rA O例题4ω1ω2图示机构中，摇臂OA 以等角速度ω1绕铅垂轴转动，半径为R 的圆盘以等角速度ω2相对于摇臂转动。

OA ＝l 。

P 求：1、圆盘的角速度和角加速度；2、圆盘上P 点的速度和加速度。

解：基点：A定系：O x y z 平移系：A x ´y ´z ´圆盘的运动：跟随基点A 的平移和绕基点A 的转动应用矢量向一点平移理论，将角速度矢量ω1向基点A 平移,得到：O zx y x ´z ´y ´ω1r OA v A ij k r ωv l l OA 1A 11ωω-=⨯=⨯=A O O z x yx ´z ´y ´r OAv A ω1ωω2解：圆盘的角速度和角加速度i k ωωω2121ωω+=+=jωωα2121ωω=⨯=角速度角加速度A OO z x y x ´z ´y ´v A P ωv A v r解：P 点的速度和加速度AP OA A P r ωr ωv v v ⨯+⨯=+=1r j i R l 21ωω--=rr v ωr a a a a ⨯+⨯+=+=AP A A P α)-()(2212121j i k j j R R l ωωωωωω⨯++⨯+-=k k j i R l 2221212ωωωω--=速度加速度§10-3 刚体绕相交轴转动时的角速度合成定理ω1ω2ωO刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动可以合成为绕瞬轴的瞬时转动；二相交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴的角速度等于分别绕二相交轴转动角速度的矢量和,合矢量的所在位置即为瞬轴位置。