投资风险和收益的建模

投资风险和收益

摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计

需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划

模型二若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 固定盈利水平，极小化风险

模型三给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

【关键字】：多目标规划模型 有效投资方案 赋权 一 问题的提出

投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)

市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n = 4时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

二 模型的假设与符号说明

2.1模型的假设：

（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不

再卖出。

（3）每种投资是否收益是相互独立的。

（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

三、模型的建立与分析

1.总体风险用所投资的Si 中最大的一个风险来衡量,即max{ q i x i|i =1，2,…,n } 2．购买S i 所付交易费是一个分段函数,即 p i x i x i >u i 交易费 =

p i u i x i ≤u i

而题目所给定的定值u i (单位:元)相对总投资M 很小, p i u i 更小, 可以忽略不计,这样购买S i 的净收益为(r i -p i )x i

3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max

∑=-n

i i

i

i

x p r 0

)(

minmax{ q i x i } 约束条件 0

(1)n

i i

i p x =+∑=M

x i ≥0 i =0,1,…,n 4. 模型简化 a ． 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a ，使最大的一个 风险q i x i /M ≤a ，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划. 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数： Q =max

∑+=-1

1

)(n i i

i

i

x

p r

约束条件 ：

M

x q i i ≤a

∑=+M x

p i

i

)1(， x i ≥ 0 i =0,1,…, n

b ．若投资者希望总盈利至少达到水平k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 模型2 固定盈利水平，极小化风险

目标函数： R = min{max{ q i x i }} 约束条件： ∑=-n

i i i i

x p r

)(≥k ，

∑=+M x

p i

i

)1( ， x i ≥ 0 i =0，1，…，n

c ．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合. 因此对风险、收益赋予权重s （0＜s ≤1)，s 称为投资偏好系数. 模型3 目标函数：min s{max{q i x i }} -（1-s ）

∑=-n

i i

i

i

x

p r 0

)(

约束条件

(1)n

i i

i p x =+∑=M ， x i

≥0 i = 0,1,2，…，n

四、模型求解

4.1模型1的求解

模型1为:

minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 ) T

x 0 + 1.01x 1 + 1.02x 2 +1.045x 3 +1.065x 4 =1 0.025x 1 ≤a

0.015x 2 ≤a s.t. 0.055x 3 ≤a 0.026x 4 ≤a x i ≥0 (i = 0，1， (4)

由于a 是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a =0开始，以步长△a =0.001进行循环搜索，编制程序如下： a=0;

while(1.1-a)>1

c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1];

A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val

plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001;