【步步高】2014届高三数学大一轮复习 13.4数学归纳法教案 理 新人教A版

§13.4 数学归纳法
2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．
复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *
)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
1． 凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________.
答案 π
解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.
2． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1
2n －1
<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推
证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k
解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋1
2k －1
，
当n ＝k ＋1时，
左边＝1＋12＋13＋…＋12－1＋…＋1
2－1.
所以左边应增加的项的项数为2k
. 3． 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2
＋…＋a
n ＋1
＝1－a
n ＋2
1－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，
左边需计算的项是
( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
答案 C
解析 观察等式左边的特征易知选C.
4． 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4
＋…＋12n 时，
若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
A ．n ＝k ＋1时等式成立
B ．n ＝k ＋2时等式成立
C ．n ＝2k ＋2时等式成立
D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B
解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 5． 已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n
2，则
( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2
－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )中共有n 2
－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
答案 D
解析 从n 到n 2
共有n 2
－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项.
题型一 用数学归纳法证明等式
例1 已知n ∈N *
，证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
.
思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2，
右边＝1
2
，等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1
2k
， 那么当n ＝k ＋1时，
左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ＋12k ＋1－
12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1k ＋1－
12k ＋1
＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋1k ＋1＋k ＋1
k ＋1＋k ＋1＝右边，
所以当n ＝k ＋1时等式也成立．
综合(1)(2)知对一切n ∈N *
，等式都成立．
探究提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是几；
(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
用数学归纳法证明：
对任意的n ∈N *
，
11×3＋1
3×5＋…＋12n －12n ＋1＝n
2n ＋1
.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝1
3，
右边＝
12×1＋1＝1
3
，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即
11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k 2k ＋1
，
则当n ＝k ＋1时，
11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋1
2k ＋12k ＋3
＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3 ＝2k 2
＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋1
2k ＋3＝
k ＋1
2k ＋1＋1
，
所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *
等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明：
1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12
＋n (n ∈N *
)． 思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1
2＋1，
∴32≤1＋12≤3
2
，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时命题成立，即
1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2
＋k ， 则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2
k >1＋k 2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋
k ＋12
. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k
<12＋k ＋2k
·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *
都成立．
探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①
放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．
用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.
∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当
n ＝k (k ≥2，且
k ∈N *)时不等式成立，即⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1＋13
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12k ＋1－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1
＝4k 2
＋8k ＋422k ＋1>4k 2
＋8k ＋322k ＋1
＝
2k ＋32k ＋122k ＋1
＝
2k ＋1＋1
2
.
∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明4
2n ＋1
＋3
n ＋2
能被13整除，其中n 为正整数．
思维启迪：当n ＝k ＋1时，把42(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
配凑成4
2k ＋1
＋3
k ＋2
的形式是解题的关键．
证明 (1)当n ＝1时，4
2×1＋1
＋3
1＋2
＝91能被13整除．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，42k ＋1
＋3k ＋2
能被13整除，
则当n ＝k ＋1时， 方法一 42(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
＝4
2k ＋1
·42＋3
k ＋2
·3－4
2k ＋1
·3＋4
2k ＋1
·3
＝42k ＋1
·13＋3·(4
2k ＋1
＋3
k ＋2
)， ∵42k ＋1
·13能被13整除，42k ＋1
＋3
k ＋2
能被13整除．
∴4
2(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
能被13整除．
方法二 因为[42(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
]－3(42k ＋1
＋3
k ＋2
)
＝(42k ＋1
·42＋3
k ＋2
·3)－3(4
2k ＋1＋3
k ＋2
)
＝42k ＋1
·13，
∵4
2k ＋1
·13能被13整除，
∴[4
2(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
]－3(4
2k ＋1
＋3
k ＋2
)能被13整除，因而4
2(k ＋1)＋1
＋3
k ＋3
能被13整除，
∴当n ＝k ＋1时命题也成立， 由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，4
2n ＋1
＋3
n ＋2
能被13整除．
探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P (k )⇒P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除⇒P (k ＋1)能被p 整除．”
已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a
n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
能被a 2
＋a ＋
1整除．
证明 (1)当n ＝1时，a
n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
＝a 2＋a ＋1，能被a 2
＋a ＋1整除．
(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1
＋(a ＋1)
2k －1
能被a 2
＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，
a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1
＝(a ＋1)2
[a k ＋1
＋(a ＋1)2k －1
]＋a k ＋2
－a
k ＋1
(a ＋1)2
＝(a ＋1)2[a
k ＋1＋(a ＋1)
2k －1]－a
k ＋1
(a 2
＋a ＋1)能被a 2
＋a ＋1整除．
即当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a
n ＋1
＋(a ＋1)
2n －1
能被a 2
＋a ＋1整除．
归纳、猜想、证明
典例：(12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a n ＋1a n .
(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，
a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明．
规范解答
解 (1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 2
1＝1.
∵a n >0，∴a 1＝1，[1分] 由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a 2＋1a 2，
得a 2
2＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.[2分] 又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a 3＋1a 3
得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.[3分] (2)猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *
)[5分]
证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．[6分] ②假设当n ＝k (k ∈N *
)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，
∴a 2
k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．[11分]
由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *
)．[12分]
温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．
(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.
方法与技巧
1． 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n
＝k ＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
2． 对于证明等式问题，在证n ＝k ＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减
少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．
3． 归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结
论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写． 失误与防范
1． 数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．
2． 严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个
(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．
3． 注意n ＝k ＋1时命题的正确性．
4． 在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方
法不是数学归纳法．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 用数学归纳法证明“1＋2＋22
＋…＋2
n ＋2
＝2n ＋3
－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为
( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋22
D ．1＋2＋22
＋23
答案 D
解析 左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23
，故选D.
2． 用数学归纳法证明“2n
>n 2
＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值
n 0应取
( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案 C
解析 令n 0分别取2,3,5,6，依次验证即得． 3． 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝
n 4＋n 2
2，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上
( )
A ．k 2
＋1 B ．(k ＋1)2
C.k ＋14＋k ＋12
2
D ．(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
答案 D
解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2
.
当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2
＋(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
，
故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.故应选D.
4． 用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n
·1·3·…·(2n －1)”，从“k
到k ＋1”左端需增乘的代数式为
( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.
2k ＋1
k ＋1
D.2k ＋3
k ＋1
答案 B
解析 n ＝k ＋1时，左端为
(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )[2(2k ＋1)]，∴应乘2(2k ＋1)． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 用数学归纳法证明“2
n ＋1
≥n 2
＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________．
答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.
6． 若f (n )＝12
＋22
＋32
＋…＋(2n )2
，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是__________．
答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
解析 ∵f (k )＝12
＋22
＋…＋(2k )2，
∴f (k ＋1)＝12
＋22
＋…＋(2k )2
＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2
＋(2k ＋2)2
.
7． 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n
＋y n
能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －
1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1
解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 三、解答题(共22分)
8． (10分)若n 为大于1的自然数，求证：
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324
. 证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立， 即
1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324
， 那么当n ＝k ＋1时，
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1
2k ＋1 ＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1
>
1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－1
2k ＋2
＝1324＋
122k ＋1k ＋1>
1324
. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立． 9． (12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝
b n
1－4a 2
n
(n ∈N *
)且点P 1的坐标为
(1，－1)．
(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *
，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝
b 1
1－4a 2
1＝13.a 2＝a 1·b 2＝13
. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.
(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *
)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝
b k
1－4a 2
k (2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k
1－2a k
＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．
由①②知，对于n ∈N *
，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 对于不等式n 2
＋n <n ＋1(n ∈N *
)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n ＝1时，12
＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时，不等式成立，即k 2
＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，
k ＋12
＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22
＝(k ＋
1)＋1，
∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法
( )
A ．过程全部正确
B ．n ＝1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D
解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 2． 用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314
(n ≥2，n ∈N *
)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边
( ) A ．增加了一项
1
2k ＋1 B ．增加了两项12k ＋1、1
2k ＋2
C ．增加了B 中两项但减少了一项1
k ＋1
D ．以上各种情况均不对 答案 C
解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋...＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)
＋
12k ＋1＋1
2k ＋2
， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1
k ＋1
.
3． 用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764
(n ∈N *
)成立，其初始值至少应取
( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
答案 B
解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－1
2n
1－12＝2－1
2
n －1，代入验证可知n 的最小值是8.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面
分成f (k )个区域，则k ＋1条直线把平面分成的区域数f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 k ＋1
解析 当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被前k 条直线分成(k ＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k ＋1个区域．
5． 用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17…⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12 (k >1)，则当n ＝k ＋1时，
左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋3…⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12k ＋1－1 2k －1
解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12k ＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有
2k ＋1－1－2k
＋12＋1＝2k －2k －1
＝2
k －1
项．
6． 在数列{a n }中，a 1＝1
3
且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．
答案 a n ＝
1
2n －12n ＋1
解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1
15；
当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝1
35
；
当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝1
63
.
∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝1
7×9，
故猜想a n ＝1
2n －12n ＋1.
三、解答题
7． (13分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12时，f (x )≥18.
(1)求a 的值；
(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *
，证明：a n <1n ＋1
.
(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a
2
6.
又f (x )max ≤16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 2
6≤1
6.
所以a 2
≤1.
又当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12时，f (x )≥18，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥1
8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≥18
，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－38≥1
8，a 4－332≥18，
解得a ≥1.
又因为a 2
≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<1
2，显然结论成立．
因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<1
3.
故n ＝2时，原不等式也成立．
②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时，不等式0<a k <
1
k ＋1
成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <
1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k ＋1. 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－3
2·1k ＋12
＋
1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42k ＋12
k ＋2<1k ＋2
. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *
，不等式a n <
1
n ＋1
成立．。