平面直角坐标系与函数及图像

第三模块函数

3.1平面直角坐标系与函数及图像

考点一、平面直角坐标系内点的坐标

1．有序数对

(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为

A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．

(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用

一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．

2．平面内点的坐标规律

(1)各象限内点的坐标的特征

点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；

点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；

点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；

点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.

(2)坐标轴上的点的坐标的特征

点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；

点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；

点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.

【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．

解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.

方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．

考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征

1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．

(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．

2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征

(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.

(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.

3．平面直角坐标系对称点的坐标特征

点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：

(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.

(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．

(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.

【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围

在数轴上表示正确的是 ( )

解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．

∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.

考点三、确定物体位置的方位

1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．

2．方法 (1)平面直角坐标法

(2)方向角和距离定位法

用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.

考点四、点到坐标轴的距离

考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标

－

4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A

1B

1

C

1

的位置，点A、B、C的对应

点分别是A

1、B

1

、C

1

，若点A

1

的坐标为(3，1)，则点C

1

的坐标为________．

解析：由A(－2，3)平移后点A

1

的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，

则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C

1

(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换

前后点所在的象限．

考点六、函数及其图象

1．函数的概念

(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不

变的，称它们为常量．

(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且

对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定

的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．

函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫

做自变量的值为a 时的函数值

注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系

(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．

2．函数的表示法及自变量的取值范围

(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）

(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．

3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点

的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形

叫这个函数的图象．

(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．

(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.

温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是

否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.

【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限

C ．第二象限

D ．第二、四象限

解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a

的取值范围即可．

⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①

3x ＋24

>x ＋a.② 由①得x ＞8，

由②得x ＜2－4a ，

其解集为8＜x ＜2－4a.

因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，

则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，

解得－114≤a<－52. 故选B.

【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水

槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )