平面直角坐标系与函数及图像
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
讲平面直角坐标系与函数
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该 函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
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一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最 高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐 标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐 标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值， 可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来 描述电磁场、引力场等物理现象 。
在生物学中，反比例函数被用来 描述细胞分裂、神经传导等生物 过程。
反比例函数的应用广泛，如在物 理学、工程学、生物学、数学、 化学和经济学等领域都有广泛的 应用。
在工程学中，反比例函数被用来 描述电路阻抗、流体阻力等物理 量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研 究函数的奇偶性、单调性和周期 性等性质。
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对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数 学常数e为底数的对 数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。
平面直角坐标系及函数图像
曲面是三维空间中由无数个平面或曲线所围成的几何体。在 三维坐标系中，曲面的方程可以用一个三元方程来表示。例 如，球面方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，其中 (a,b,c)为球心坐标，R为球半径。
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空间点坐标
在三维坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，称为点P的坐标，记 作P(x,y,z)。
空间点坐标表示方法
柱坐标
柱坐标是一种用极径、极角和垂直高度三个量来表示空间点位置的方法。在柱 坐标系中，点的位置用(r,θ,z)表示，其中r为点到Z轴的距离，θ为点与X轴正方 向的夹角，z为点到XY平面的距离。
05
拓展内容：三维坐标系简介
三维坐标系定义及性质
三维坐标系定义
三维坐标系是在平面直角坐标系的基础上，引入第三个坐标轴而形成的坐标系。通常，三 个坐标轴分别用X、Y、Z表示，它们互相垂直并相交于原点O。
右手定则
在三维坐标系中，通常采用右手定则来确定坐标轴的方向。即伸出右手，大拇指指向X轴 正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
利用性质判断
周期函数具有一些特殊的性质，如周期性、 对称性、可加性等，这些性质可以帮助我们 判断一个函数是否具有周期性。
04
典型问题解析与讨论
求交点坐标问题
01
02
03
解析法
联立两个函数的解析式， 解方程组求得交点的横纵 坐标。
图象法
在平面直角坐标系中分别 作出两个函数的图象，两 图象交点的坐标即为所求 。
坐标的表示方法
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用数对来表示。例如，(a, b)表示一个点的横坐标为a，纵坐 标为b。当a>0且b>0时，该点位于第一象限；当a<0且b>0时，该点位于第二象限；当a<0且b<0时 ，该点位于第三象限；当a>0且b<0时，该点位于第四象限。
平面直角坐标系及函数图像
平面直角坐标系及函数图像主备：徐付军审稿：九年级数学组学习目标：1掌握坐标系的有关概念。
2会观察图像，理解数形结合思想。
学习过程：基础知识：1平面上点P(X,Y)，当X Y 时，点P在第一象限。
当XY 时，点P在第二象限。
当X Y 时，点P在第三象限。
当XY 时，点P在第四象限。
当时，点P在X轴，当时，点P在Y轴。
2平行X轴的直线上坐标，平行Y轴的直线上坐标，平行X轴的线段A(a,b)B(c,d)(a>c)的长为，平行Y轴的线段A(a,b)B(c,d)(b>d)的长为.3 叫函数。
自变量，函数值。
典型例题：1一辆汽车的油箱现有汽油50L，如果不加油，那么油箱中的汽油Y随行驶里程X的增加而减少，平均耗油量为0.1L/KM。
（1）写出Y与X的函数关系式？（2）指出自变量的取值范围。
（3）汽车行驶200KM时，油箱中还有多少汽油？2下面图像反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家。
其中X表示时间，Y表示小明离他家的距离，小明家，菜地玉米地在一条直线上。
根据图像回答下列问题;(1)菜地离小明家多远？(2) 小明给菜地浇水用了多少时间？(3)菜地离玉米地多远？，小明从菜地到玉米地用了多少时间？(4)小明给玉米地除草用了多少时间？(5)玉米地离小明家多远？小明从玉米地回家的平均速度是多少？练习：1点P(a,b)在第二象限，则Q(-b,a-b)在象限。
2点M(m-1,m+2)在X轴，则点M（，）。
3下列各曲线中表示Y是X的函数的是（）4下面图像反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家。
其中X表示时间，Y表示离家距离。
（1）体育场离家多远？（2）体育场离文具店多远？（3）张强在文具店停留多少时间？（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？5正方形边长为3，若边长增加X则面积增加Y，求Y随X变化的函数关系式。
6甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒，现甲车在乙车前500米，设X秒后两车的距离为Y米，求Y随X（0<x<100）变化的函数关系式，并画出函数图像。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
平面直角坐标系与图像的绘制
平面直角坐标系与图像的绘制平面直角坐标系是数学中常用的表示平面上点的工具，通过直角坐标系可以有效地描述和绘制图像。
本文将介绍平面直角坐标系的概念以及如何使用它来绘制图像。
一、平面直角坐标系的概念平面直角坐标系由两个相互垂直的直线组成，一个为水平的x轴，另一个为垂直的y轴。
将交点处称为原点O，以及两条坐标轴上的单位长度分别为1，整个平面直角坐标系就划分成了四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
二、图像的绘制使用平面直角坐标系可以绘制各种图像，包括直线、曲线和曲面等。
下面分别介绍如何绘制这些图像。
1. 直线的绘制直线在平面直角坐标系中可以用方程y = kx + b来表示，其中k为斜率，b为截距。
通过确定斜率和截距的值，可以确定直线在坐标系中的位置和方向。
例如，当k为正值时，直线向右上方倾斜；当k为负值时，直线向左下方倾斜。
2. 曲线的绘制曲线的绘制需要通过方程或者函数来描述。
常见的曲线有抛物线、双曲线和椭圆等。
通过将x的取值范围代入方程或者函数中，可以得到对应的y值，从而确定曲线上的点的位置。
根据需要，可以逐点连接，绘制出曲线的形状。
3. 曲面的绘制曲面的绘制同样需要通过方程或者函数来描述。
曲面可以是二维的也可以是三维的。
在平面直角坐标系中，常见的曲面有圆锥曲线、球面和柱面等。
通过将x和y的取值范围代入方程或者函数中，可以得到对应的z值，从而确定曲面上的点的位置。
根据需要，可以逐点连接，绘制出曲面的形状。
总结：平面直角坐标系是一种有效的工具，可以用于描述和绘制各种图像。
通过了解直线、曲线和曲面的绘制方法，我们可以更好地理解和应用平面直角坐标系。
在实际应用中，我们可以利用计算机软件或者绘图工具来绘制图像，提高效率和准确性。
掌握平面直角坐标系的概念和图像的绘制方法，对于数学和工程学科都具有重要的意义。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用平面直角坐标系，绘制出更加精确和美观的图像。
平面直角坐标系
平面直角坐标系、函数的基本概念知识方法梳理1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，分别称为第一、二、三、四象限.（1）坐标平面内的点与有序实数对一一对应平面内任一点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|.（2）平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标的特征x 轴上的点，其纵坐标为0；y 轴上的点，其横坐标为0；原点坐标为（0,0）.（3）各象限点的坐标特征第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）.（4）平行坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上任两点的横坐标相同.（5）象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.（6）对称点的坐标特征点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ），即关于x 轴的对称点，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ），即纵坐标不变、横坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标为（-x ，-y ），即横、纵坐标分别互为相反数.（7）设平面上点A （x A ,y A ）,点B （x B ,y B ）：① ① AB 在x 轴上或平行于x 轴，则AB=｜x A - x B ｜；② ② AB 在y 轴上或平行于y 轴，则AB=｜y A - y B ｜；③ ③ 平面上任意两点A ，B 的距离AB=22)()(B A B A y y x x -+-.2、常量、变量和函数（1）在某一过程中，可以取不同数值的量叫变量；数值保持不变的量叫常量.变量和常量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的.（2）函数：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果每给一个x 的值，相应地都有唯一确定的一个y 值与之对应，那么y 就是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量. ① 函数自变量的取值范围：通常考虑以下几点：①分母不为零；②偶次方根中的被开方数大于或等于零；③零指数或负指数幂的底数不为零；④实际问题中，还要使这个实际问题有意义.② 函数值：对于自变量在取值范围的一个确定的值，如x ＝a ，该函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做x ＝a 时的函数值，简称函数值.3、函数图象和函数表示法（1）函数图象：函数图象是由函数关系中自变量的值与它对应的函数值分别作为点的横坐标与纵坐标进行描点，所有的点组成了这个函数的图象.(2) 函数的三种表示方法，即列表法、图象法、解析法.在解决一些与函数有关的应用题时，有时可以通过数形结合的方法来解决。
直角坐标系中的图形 函数与图像
、一周知识概述1、用坐标表示平移（1）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（2）一个图形进行平移，这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，如果图形上的点的坐标发生变化，那么这个图形进行了平移．（3）图形平移的特征：一个图形平移前后大小、形状完全相同，只是位置不同．2、常量和变量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；而数值始终保持不变的量称为常量．常量与变量必须存在于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．3、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量．4、函数的图象（1）图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．（2）由函数解析式画其图象的一般步骤：①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接．二、重难点知识归纳1、直角坐标系中的图形.2、画函数的图象3、利用函数的图象获取信息，解决实际问题．三、典型例题剖析例1、中国象棋棋盘中蕴含着直角坐标系，下图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B等处．若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线．分析：棋子“马”向上、下平移两个单位时要向左或右平移一个单位，向上、下平移一个单位时要向左或右平移两个单位.答案：如图示（答案不惟一）例2、星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图中描述了她散步过程中离家的距离s （m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，依据图象，下列说法符合小红散步情景的是（）A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才开始返回分析：观察图中的时间t和离家的距离s的变化情形．可知，经过4min到离家300m的公共阅报栏，看了6min的报纸后向前走了一段路回家即到达横轴．答案：B例3、如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为1个单位长度.三角形MNQ是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，请分别写出点A与M，点B与点N，点C与点Q的坐标，并观察它们之间的关系，如果三角形ABC中一点P的位置如图. 那么对应点R的坐标为什么？并在△MNQ中表示出R来.猜想线段AC与线段MQ的关系.解析：根据平面直角坐标系，先写三角形ABC和三角形MNQ的坐标，从中发现它们的关系，再写出P的坐标，根据它们的关系写出R的坐标.解答：观察直角坐标系得A（－4，1），M（4，－1），B（－1，2），N（1，－2），C （－3，4），Q（3，－4），由它们的坐标可知两个对应点的横、纵坐标的和都为0，∵P的坐标为（－3，2），∴R的坐标为（3，－2），R表示在如图中.从坐标系观察可知AC//MQ并且AC=MQ.例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？解析：按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．解：（1）列表：（2）描点；（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．例5、小刚、爸爸和爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等．每个人的行走路程与时间的关系是图中所示的三个图象中的一个，走完一个往返．问：（1）三个图象中哪个对应小刚、爸爸、爷爷？（2）离家所去的地点多远？（3）小刚与爷爷骑自行车的速度各是多少？三人步行的速度各是多少？分析：读清题目，理解好题意，结合实际问题，再解决问题．解：（1）因为小刚去时骑自行车，返回时步行，所以去时需要的时间少于回来所需的时间，故图（2）对应小刚．用同样的方法可以判断爸爸对应图（3），爷爷对应图（1）．（2）他们离家所去的地点有1200m远．（3）由图象知，小刚去时的时间是6min，所以小刚骑自行车的速度为：用同样的方法可以求得，爷爷骑自行车的速度为200m/min，小刚步行的速度为80m/min，爸爸步行速度为100m/min，爷爷步行的速度为60m/min．- 返回-。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
函数-第1讲：平面直角坐标系与函数
1、点坐标的特征：x 轴上点坐标的特征：（m,0）y 轴上点坐标的特征：（0，m ）平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行y 轴的直线上的点的横坐标相同。
2、点坐标的几何意义：（1）点（a ，b ）表示到x轴的距离是b ，到y 轴的距离是a （2）根据点到坐标轴的距离可以写出点坐标，但是需要考虑符号，需要分类讨论。
例：点A 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，求点A 的坐标。
答：（3,2）或（-3,2）或（-3，-2）或（3，-2）3、确认函数自变量取值范围的方法：【方法技巧】第一节 函数-平面直角坐标系与函【知识梳理】4、函数图象问题的解题技巧：①解题关键步骤：第一步：识别变量（审题）：第二步：判断趋势第三步：找特殊值第四步：列解析式小贴士：以上四步没有绝对的向后顺序，若可以利用排除法求，则优先利用排除法，若实在判断不了函数图象，则可求出函数的关系式；注意出现动点时，要标出动点走过的路程和剩下的路程再去找关系，常用勾股定理和相似来求动点解析式②判别图象是曲还是直：要看变量的个数，若一个变量，则为直线；若变量是两个，则为曲线。
两个变量的增加性一样，则开口向上。
若不一样，开口向下。
③识别图象特点：若动点在直线、射线、线段、圆、圆弧上动，则函数图像为连续圆滑的图像，若在有尖点的折线上运动，则函数图像为出现明显的拐点为分段函数。
【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是（）A．B．C． D．变式1、已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞C．﹣＜a＜1 D．﹣1＜a＜例2、已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，﹣m+1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1、在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例3、已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．变式1、画出平面直角坐标系，标出下列各点；（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；（4）点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度（5）点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．依次连接这些点，你能得到什么图形？例4、已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3）①在直角坐标系中，画出△ABC；②求△ABC的面积．变式1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1），B（1，1）C（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）（1）在坐标系中描出各点，画出△AEC，△BCD．（2）求出△AEC的面积（简要写明简答过程）．变式2、已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．例5、已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）CD= ，|DB﹣AC|= ；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB两点之间的距离．变式1、先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．考点二：函数及其图象例1、在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≤C．x＞D．x≥变式1、函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞4B．x≥2C．x≥2且x≠﹣4D．x≠﹣4变式2、函数y=的自变量x的取值范围为（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≠2例2、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．例3、如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y=2x+1B．y=x﹣2x2C．y=2x﹣x2D．y=2x变式1、如图，A的坐标是（0，4），点C是x轴上的一个动点，点B与点O在直线AC两侧，∠BAC=∠OAC，BC⊥AC，点B的坐标为（x，y），y与x的函数关系式为（）A．y=8x B．y=C．y=D．y=例4、在五边形ABCDE中，∠B=90°，AB=BC=CD=1，AB∥CD，M是CD边的中点，点P由点A出发，按A→B→C→M的顺序运动．设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（）A．B．C．D．变式1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P 从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．例5、如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．变式1、如图，BC是⊙O直径，A是圆周上一点，把△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，连结BD，当BD∥AC时，记旋转角为x度，若∠ABC=y度，则y与x之间满足的函数关系式为（）A．y=180﹣2x B．y=x+90C．y=2x D．y=x例6、如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O变式1、一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（）A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B例7、如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE变式1、如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H 是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH例8、小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N变式1、如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A．点B B．点C C．点D D．点E例9、如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④变式1、如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A 运动结束．设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么如图乙图象中可能表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．①B ．④C ．①或③D ．②或④<A 组>1．已知点P （0，m ）在y 轴的负半轴上，则点M （﹣m ，﹣m+1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞4B ．x≥2C ．x≥2且x≠﹣4D ．x≠﹣43．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min 后回家，图中的折线段OA ﹣AB ﹣BC 是她出发后所在位置离家的距离s （km ）与行走时间t （min ）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）A ．B ．C ．D ．4．小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟书后，用15分钟【分层训练】返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象是（）A．B．C．D．5．小颍今天发烧了．早晨她烧得很厉害，吃药后她感觉好多了，中午时小颖的体温基本正常，但是下午她的体温又开始上升，直到夜里小颖才感觉没那么发烫．下面四幅图能较好地刻画出小颖今天体温的变化情况的是（）A．B．C．D．6．已知点A（m，﹣2），点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣3D．37．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）8．如图，直线m∥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O49．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为1个单位）．若用（0，﹣2）表示苏果超市的位置，用（4，1）表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为．10．如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1）上，“相”位于点（4，﹣1）上，则“炮”所在的点的坐标是．<B组>1、如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）A．（0，21008）B．（21008，21008）C．（21009，0）D．（21009，﹣21009）2、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．4．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（3，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=10，写出满足条件的所有点C的坐标．5、如图∥，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是转化为求Rt∥ABC或Rt∥DEF的斜边长．下面：以求DE为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF=|5﹣（﹣3）|=8，EF=|4﹣（﹣7）|=11，所以由勾股定理可得：DE==．下面请你参与：（1）在图∥中：AC=，BC=，AB=．（2）在图∥中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示AC=，BC=，AB=．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A（2，1），B（4，3），C为坐标轴上的点，且使得∥ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，∥APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7、如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），∥OEF 的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．参考答案【考点突破】考点1：平面直角坐标系例1、解：∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即﹣2m+3＜0，解得m＞．故选B．变式1、解：∵点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，∴，解得：a，故选：B．例2、解：由点P（0，m）在y轴的负半轴上，得m＜0．由不等式的性质，得﹣m＞0，﹣m+1＞1，则点M（﹣m，﹣m+1）在第一象限，故选：A．变式1、解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，∴a＞0，﹣b＞0，∴b＜0，∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．故选D．例3、解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．变式1、解：（1）∵点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度，∴点B的坐标为（1，0）；（3）∵点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度，∴点C的坐标为（2，2）；（4）∵点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点3个单位长度，∴点D的坐标为（3，0）；（5）∵点E在x轴上方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的坐标为（4，2）．将A、B、C、D、E标在同一坐标系中，依次连接这些点，如图所示，得到的图形为W形．例4、解：（1）△ABC如图所示；（2）△ABC的面积=6×5﹣×2×4﹣×1×6﹣×5×4，=30﹣4﹣3﹣10，=30﹣17，=13．变式1、解：（1）如图所示：（2）△AEC取EC为底，则EC为6，EC边上高AC=4所以S△AEC=×6×4=12．变式2、解：（1）S△ABC=3×4﹣×2×3﹣×2×4﹣×1×2=4；（2）如图所示：P1（﹣6，0）、P2（10，0）、P3（0，5）、P4（0，﹣3）．例5、解：（1）CD=|c﹣a|，|DB﹣AC|=|b﹣d|；（2）AB=；（3）AB==3．故答案为|c﹣a|，|b﹣d|；．变式1、解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|==13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|=|﹣1﹣5|=6，即A、B两点间的距离是6；（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB=5，BC=6，AC=5，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考点二、函数及其图象例1、解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，故选：B．变式1、解：由题意得，解得x≥2，x≠﹣4，∥自变量x的取值范围是x≥2，故选B．变式2、解：∥函数表达式y=的分母中含有自变量x，∥自变量x的取值范围为：x﹣2≠0，即x≠2．故选D．例2、快速解法：由题意可得P经过两个线段，BA,AC,当P在BA上运动时，BD是变化的（增大），PD也是变化的（增大），所以面积是曲线，不是直线，排除A、D当P在AC上运动时，BD是变化的（增大）,PD也是变化的（减少），所以面积是曲线，且是下降的。
平面直角坐标系
y 在第一、三象限夹角的角平分线上 x y ； 点 Px， y 在第二、四象限夹角的角平分线上 x y 0 ，即 x y ． 点 Px，
一、 直接计算 二、 “割补法” ． 1. 割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可． 2. 补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分． 一、 坐标找规律的特点 1、 坐标规律和以前学过的数字规律、图形规律一样，只不过是放在坐标系中。 2、 写出前面几个点的坐标，观察横纵坐标的数字变化，转化成数字规律。 3、 观察点的运动规律，找出其中的变化过程。 二、 常见的规律类型： 循环类数字规律，等差数列，等比数列等等 二、用坐标表示地理位置 1、 用有序数对表示平面内点的位置时，要注意坐标中两个数分别表示的意义及顺序，如注 意区分 2,3 与 3, 2 的不同，切勿混淆．在表示点的坐标时，一定要把点的横坐标写在 前面，纵坐标写在后面，不能颠倒． 三、坐标系中点的变换 4. 对称点的坐标特征
b 解． 求直线 y kx b 与 x 轴交点时， 可令 y 0 ， 得到方程 kx b 0 ， 解方程得 x ， k b b 直线 y kx b 交 x 轴于 ( ,0) ， 就是直线 y kx b 与 x 轴交点的横坐标． k k
二、一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以转化为 ax b 0 或 ax b 0 ( a、b 为常数，a 0 )的形 式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的 取值范围． 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数的解析式 ykxb （ k ） 0 本身就是一个二元一次方程，直线 ykxb （ k ） 0 上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 ykxb （ k ） 0 ，因此二元一次方程的解也就有无数个． 十、一次函数图像的变换
平面直角坐标系与函数图像
平面直角坐标系与函数图像在数学中，平面直角坐标系是一种常用的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，以一个点作为原点，可以表示二维平面上的任意点。
一、平面直角坐标系的构成平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，通常称为x轴和y轴。
x轴水平放置，代表横轴，y轴竖直放置，代表纵轴。
这两条直线的交点被定义为原点O，即坐标(0,0)。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一个有序数对表示，这个有序数对通常写成(x, y)，x代表该点在横轴上的位置，y代表该点在纵轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在横轴上位置为2，纵轴上位置为3。
三、函数图像在平面直角坐标系中的表示函数图像是平面直角坐标系中的一种重要应用。
我们可以通过函数的定义域和值域来绘制函数图像。
以一元函数为例，假设给定函数f(x)，x为定义域上的变量，y为函数的值域。
我们可以通过给不同的x值计算对应的y值，将这些点在平面直角坐标系上连线得到函数的图像。
四、函数图像的性质函数图像在平面直角坐标系中呈现出不同的特征和性质。
我们可以通过观察图像找到函数的最大值、最小值、零点、增减性、凹凸性等关键信息来研究函数的性质。
平面直角坐标系为我们提供了一个直观的展示方式，有助于我们更好地理解和分析函数。
五、利用平面直角坐标系解决实际问题平面直角坐标系不仅在数学理论中有重要应用，在实际问题中也发挥着重要作用。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制运动曲线来描述物体在平面上的运动轨迹；在经济学中，我们可以通过绘制需求曲线和供给曲线来研究市场的供求关系。
六、小结平面直角坐标系是一种重要的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。
它由x轴和y轴组成，通过坐标的有序数对来表示点的位置。
函数图像在平面直角坐标系中可以展现出不同的性质和特征，有助于我们研究函数的性质和解决实际问题。
通过学习和理解平面直角坐标系，我们能更好地掌握数学知识，并应用于实际生活中。
第11讲 平面直角坐标系与函数
一象限内，则m的取值范围是______．
【解析】因为第一象限内的点横坐标为正,纵坐标为正,所以
m 0, m 2 0,
解得
m 0, 所以m>2. m 2,
答案：m>2
求函数自变量的取值范围
◆中考指数:★★★★☆ 函数自变量取值范围的五种情形: 1.若函数解析式是整式，其取值范围是全体实数. 2.若函数解析式是分式，其取值范围应使分母不等于零. 3.若函数解析式是偶次根式，其取值范围应使被开方数为 非负数. 4.若函数解析式为零指数和负整数指数，其取值范围应使 底数不等于0. 5.与实际问题有关的函数解析式，其自变量的取值范围除 了满足上述条件外，还应使实际问题有意义.
平路、上坡、下坡的时间分别为8分钟、10分钟、2分钟，所以
总共需要20分钟.
【对点训练】 6.(2012·益阳中考)在一个标准大气压下，能反映水在均匀 加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大 致是( )
【解析】选B.选项A：由图象中发现，水温达到100 ℃时温度
保持了一段时间后又在上升，错误;选项C：由图象中发现，水
【例】(2011·长沙中考)如图，在平面直角坐标系中，
点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标是(
(A)(2，2) (C)(-1，5) (B)(-4，2) (D)(-1，-1)
)
【解题导引】根据“右加左减，上加下减”确定点P平移后的
坐标.
【规范解答】选A.借助网格，可以看出在平面直角坐标系中点
3 2 (D) x 3 2
(A)x＞ 3
2 (C)x 3 2
(B) x
【解析】选D.∵2x-3≥0,解得 x
3 . 2
函数图像
例6、 甲 、 乙 二 人 沿 同 一 方向 去B地 ， 途 中 都 用 两 种 不 同的 速 度
v1与v2 (v1 v2 ).甲 前 一 半 的 路 程 用 速 度v1， 后 一 半 的 路 程 用 速 度v2；
乙
前
一
半
的
时
间
使
用
速度v
，
1
后
一
半
的
时
间
使
用
速度v
第八讲 函数的图象
一、 知识要点：
1.函数的图象
在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点(x，y)的集合，就是函数y=f(x)的图 象．图象上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)， 反过来，满足y=f(x)的每一组对应值x、y为坐标的点(x，
y)，均在其图象上 。
cos
logcos x (0 x logcos x (1 x)
1)
x(0 x
1 x
(1
x)
1)
y
o
x
返回
1 (3) log x y log y x log x y log x y log x y 1 y x或y 1 ( x, y 0且x, y 1)
2
y x 2 4 | x | 3 | x |2 4 | x | 3
y
-3
-2
-1
–4 –3 –2 –1
|
|
|
|
o
1 234
|
|
|
|
- –1
x
返回
(2) y cos |logcos x| (0 );
平面直角坐标系与函数(共29张PPT)
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
第9讲 平面直角坐标系与函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平面直角坐标系 D
C
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
【归纳总结】
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
考点2 平面直角坐标系中点的对称来自平移 CCB 第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
【归纳总结】
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
考点3 函数及其图象 C
B
D
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
D
D
C
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
C
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
C
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第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
[中考点金]
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
A
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
探究二 函数图象与实际问题
A
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[中考点金]
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C
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┃考题自主训练与名师预测┃
B
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【归纳总结】
全体实数 不等于0 大于等于0 不等于0
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
列表法 解析式法
图象法 描点
连线
减小
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
【知识树】
第9讲┃ 平面直角坐标系与函数
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 利用平面直角坐标内点的坐标特征求字母的取值范围
平面直角坐标系与函数
六边形,所以 OC=OA=1,∠COD=60°,所以 OM=12,CM= 23,因为点 C
在第四象限内,所以点 C 的坐标为
1 2
,-
3 2
.
答案:
1 2
,-
3 2
命题点2 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例2】 已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,则a的
取值范围是( )
A.a>-1 C.-1<a<12
P（x，y）
向上
平移
b个
向右平移a个单位
单位
P1（x+a，y）
点到坐标 轴及原点 的距离
点P（a，b)到x轴的距离为 b
点P（a，b)到y轴的距离为⑨ a 点P（a，b)到原点的距离为⑩ a2 b2
常量和变量：在某一变化过程中，保持不变的 量叫做常量，可以变化的量叫做变量
相 关 函数：在某一变化过程中，有两个变量x与y， 概 念 如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，
解：解法一：∵－1≤x＜3，∴2≥－2x＞－6，∴2＋4≥－2x＋4＞－6
＋4，即6≥－2x＋4＞－2.∵y＝－2x＋4，∴6≥y＞－2，即－2＜y≤6 解
法二：∵y＝－2x＋4，∴x＝
4－y 2
.∵－1≤x＜3，∴－1≤
4－y 2
＜3，∴－
2≤4－y＜6，∴－2－4≤－y＜6－4，－6≤－y＜2，∴－2＜y≤6
[对应训练]
1 在函数 y＝ x2－5中，自变量 x 的取值范围是( A ) A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5
2 在 函 数 y ＝ x＋4 ＋ x － 2 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 _______x_≥_－__4_且__x_≠_0_________．
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第三模块函数
3.1平面直角坐标系与函数及图像
考点一、平面直角坐标系内点的坐标
1．有序数对
(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为
A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．
(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用
一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．
2．平面内点的坐标规律
(1)各象限内点的坐标的特征
点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.
(2)坐标轴上的点的坐标的特征
点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.
【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．
解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.
方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．
考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征
1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．
(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．
2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征
(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.
(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.
3．平面直角坐标系对称点的坐标特征
点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：
(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.
(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．
(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.
【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围
在数轴上表示正确的是 ( )
解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．
∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.
考点三、确定物体位置的方位
1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．
2．方法 (1)平面直角坐标法
(2)方向角和距离定位法
用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.
考点四、点到坐标轴的距离
考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
－
4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A
1B
1
C
1
的位置，点A、B、C的对应
点分别是A
1、B
1
、C
1
，若点A
1
的坐标为(3，1)，则点C
1
的坐标为________．
解析：由A(－2，3)平移后点A
1
的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，
则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C
1
(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换
前后点所在的象限．
考点六、函数及其图象
1．函数的概念
(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不
变的，称它们为常量．
(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且
对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定
的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．
函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫
做自变量的值为a 时的函数值
注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系
(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．
2．函数的表示法及自变量的取值范围
(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）
(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．
3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点
的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形
叫这个函数的图象．
(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．
(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.
温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是
否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.
【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限
C ．第二象限
D ．第二、四象限
解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a
的取值范围即可．
⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①
3x ＋24
>x ＋a.② 由①得x ＞8，
由②得x ＜2－4a ，
其解集为8＜x ＜2－4a.
因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，
则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，
解得－114≤a<－52. 故选B.
【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水
槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )
解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直
至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.
方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，
哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．
考点七、自变量取值范围的确定方法
求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．
1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．
2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．
3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；
以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．
4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数
5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2
的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．
(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1
的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1
中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.
(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.
(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，
得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。