奥数讲义数论专题：约数与倍数

华杯赛数论专题：约数与倍数
基础知识：
1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.
例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.
2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.
3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.
例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.
4.约数个数公式、约数和公式.
5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：
（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，
①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.
（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a ＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.
（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：
（a，b）×[a，b] ＝a×b.
例题：
例1.360有多少个约数？
【答案】24
【解答】，所以360共有24个约数.
例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.
【答案】36
【解答】这个数可以表示成，与6互质，
所以x≥2，y≥2，
故最小数为.
例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？
【答案】6组
【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.
例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为
，
那么△＋◇＋□等于.
【答案】24
【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使
得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .
所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.
例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .
【答案】175和16
【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇
一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、
、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.
例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？
【答案】900
【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.
例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有
个约数是奇数.
【答案】12
【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，
所以为12个.
例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元
【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；
由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；
17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：
1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、
17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.
综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.
例9.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.
【答案】924,109956
【解析】方法一：
方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋924
2772＝924×3
例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .
【答案】53
【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝
53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.
例11.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
【答案】147或105
【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.
设这两个数为a、b，a＜b.
因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.
因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.
所以这两个数的和为147或105.
例12.已知自然数A、B满足以下两个性质：
（1）A、B不互素；
（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.
那么A+B的最小值是多少？
【答案】25
【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.
因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B＝28.
所以A＋B的最小值为10＋15＝25.
例13.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.
【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60
【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.
例14. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.
【答案】6
【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，
所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.
例15.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？
【答案】324、756
【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.
例16.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和
同时成立的三位数a= .
【答案】237
【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，
所以a＝60×4－3=237.
例18.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。

问：满足此条件的a，b，c有多少组？
【答案】9组
【解析】a是60与90的公约数，故a是30的约数；同理，b是12的约数，c是18的约数。

再由b与c的最小公倍数是36知，b只能取12或4，c只能取18或9. 所以共9组。