非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。
在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法
5) 确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。
变量梯度法 (7/10)—例5-14
由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李 雅普诺夫函数的充分性方法。 用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着 平衡态就不是渐近稳定的。 例5-14 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:
针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性 ,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n gradV 21 1 a x a x a x 2n 2 nn n n1 1
式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t 的函数或x1,x2,…,xn的函数。

由于 V ( x ) f ( x ) f ( x )为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x ) f ( x ) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
李雅普诺夫稳定性 分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
1 x2 x 2 x2 x13 x
解 显然xe=0是系统的平衡态。
可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为
V1 a11x1 a12 x2 gradV V a x a x 2 21 1 22 2
变量梯度法 (8/10)
V x V 1 1 dV gradV ( x ) dx V Vn xn
舒尔茨和吉布生建议 ,先假设gradV具有某种形式 , 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
1 0 1 x1 x x x 2 7 2 2
由于
变量梯度法 (3/10)
由
V ( x ) V x 1 n (gradV ) x V x x1 xn
可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即
V ( x ) (gradV ) dx

0 x x n 0
Vi dxi
i 1
式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,…,xn)。
通常将aij选择为常数或t的函数。
变量梯度法 (6/10)
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
(5 31)
( x ) (gradV ) x ( x )。 定义 V 2) 由 V
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
1 f ( x ) 3 J ( x) 2 1 1 3 x x 2 2 6 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 2 2 2 6 x 2
克拉索夫斯基法(7/7)
由塞尔维斯特准则有
由 场 论 知 识 可 知 , 若 梯 度 gradV 的 n 维 旋 度 等 于 零 , 即 rot(gradV)=0,则V可视为保守场,且上式所示的线积分与路 径无关。
V ( x ) (gradV ) dx

0
x
x n
0
V dx
i 1 i
i
(5 29)
变量梯度法 (4/10)
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
x f ( x) f ( x) V ( x) x
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
解 由于f(x)连续可导且
3 2 f ( x) f ( x) (3x1 x2 )2 ( x1 x2 x2 ) 0
阿依捷尔曼法
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
(t ) f ( x ) x
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x) f ( x) / x
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
由gradV可得如下V(x)的导数
( x ) (gradV ) x V x2 [a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ] 3 x x 2 1 2 x1 x2 (a11 a21 a22 x12 ) x2 (a12 a22 ) a21 x14
克拉索夫斯基法(3/7)
( x ) [ f ( x ) f ( x )] V f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
(t ) f ( x ) x
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)
设所找到的非线性系统的判定平衡态 xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为 V ( x ),它是 x 的显函数 , 而不是时间 t 的显函数 , 则 V(x)的单值梯度gradV存在。
梯度gradV是如下定义的n维向量:
当
a11 a21 a22 x12 0 a12 a22 0 a 0 21
时,V'(x)为负定。
即上述 aij 所满足的条件是 V'(x) 负定的一个充分条件。
1 6 0, 6 2 2 2 36 x 2 8 0 2 2 2 6 x2
ˆ ( x ) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。 设非线性定常连续系统的状态方程为
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。
1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
( x) 由平衡态渐近稳定时 V 为负定的条件,可以决定部 分待定参数aij。
3) 由限制条件
Vi V j x j xi i, j 1, 2,, n
式中决定其余待定参数aij。 4) 按式(5-31)求线积分,获得V(x)。
验证V(x) 的正定性,若不正定则需要重新选择待定参 数aij,直至V(x)正定为止。
更进一步 , 当 ||x||→∞ 时, 有||f(x)||→∞, 则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
x f ( x) f ( Leabharlann Baidu) V ( x) x
则其导数为
(t ) f ( x ) x
x f ( x) f ( x) V ( x) x
而rot(gradV)=0的充分必要条件是: gradV的雅可比矩阵
Vi gradV ( x) x x j
nn
是对称矩阵,即
Vi V j x j xi i, j 1, 2, , n
当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故 可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分