非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
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李雅普诺夫稳定性分析
⑥ V(x)函数只表示了平衡状态附近的某领域内的局部 运动稳定状况。不能提供域外的运动信息。 ⑦ V(x)的构造需要较多技巧，可通过计算机来完成， 人力难以估测。因此，此方法常用于难以判定的复 杂问题。例如高阶时变非线性系统。
李雅普诺夫稳定性在线性系统中的应用
线性系统中的应用
线性连续定常系统稳定性分析 线性离散定常系统稳定性分析 线性连续时变系统稳定性分析 线性离散时变系统稳定性分析
V ( x) 0,V ( x) 0,V ( x) 0
李雅普诺夫函数讨论
⑤ V ( x) 0 V ( x) 0 V ( x) 0
能量的趋近速度是负的，所以能量最 终为0，趋向于原点，系统是渐进稳 定的。 能量最终为可能0，趋向于原点，也 有可能停止在ε内的某处。 能量是递增的，因此是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性
上述定理的标量函数V(X,t)称为李亚普诺夫函数． 李亚普诺夫稳定性定理是判定系统稳定的充分条件， 但非必要条件。 一般李亚普诺夫函数对某个系统来说不止一个，即不 唯一。
状态 系统 能量函数
寻找的
？
系统 稳定
李雅普诺夫稳定性
示例有一个非线性状态方程，Xe=0为一个平衡状态
是否就一定不稳定呢？是否标量函数不合适呢？需要另外判断。 从李雅普诺夫第一方 法来看，解特征方程
s 1 1 2 sI A 1 s 1 s 2s 2 0
李雅普诺夫函数讨论
李雅普诺夫第二方法关键在于寻找一个满足条件的李 雅普诺夫函数。 ① V(x)是满足稳定性盘踞条件的一个正定标量函数，具 有连续一阶偏导。 ② 对于一个给定系统，如果V(x)能找到，那么通常是非 唯一的，但是不影响结论一致性。 ③ V(x)最简形式是二次型，但未必都是。 ④ 如果V(x)是标准二次型，V(x)可表示为从原点到x的 距离。V (x) 表征了系统相对原点运动的速度。
5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析解析
克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性分析方法
则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。
1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
由于 V ( x ) f ( x ) f ( x )为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x ) f ( x ) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
V x V 1 1 dV gradV ( x ) dx V Vn xn
舒尔茨和吉布生建议 ,先假设gradV具有某种形式 , 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
1 6 0, 6 2 2 2 36 x 2 8 0 2 2 2 6 x2
ˆ ( x ) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
李雅普诺夫方法分析控制系统稳定性0306
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
t
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
3.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点邻域存在V ( x, t )对 x 的连续一阶偏 导数。
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐进稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。 V ( x) 如果V(x)还满足 lim x
数判据，Nquist稳定判据，根轨迹 判据等
非线性系统：相平面法(适用于一，
二阶非线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的
稳定性定理采用了状态向量来描述， 适用于单变量，线性，非线性，定常， 时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控
制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：求解特征方
程的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和
技巧来构造李氏函数
2.1 稳定性基本概念
=Ax+Bu(u=0) 1.自治系统：输入为0的系统 x
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
李雅普诺夫稳定性理论
性的综合效果。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu
y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu
y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
v(x)=i/r (x)/(x)r严J] ar r ■ 1 as严), ar r • ■ r /(x)+/r (x) = /(xM r (x)/(.r) + /r (x)J(x)/(x) =-111 FV(x) = /r (x)/(x)^系统的一个李雅评诺夫曲数，即/f (X)/(X)正定。
■因此,若j(x)负定•则V(x.O = /r (x)j(x)/(x 必为负定。
x 所以，由泄理54知•该非线性系统的卩衡态叫=0是渐近稳 定的。
□ □ □ 丸人索人斯仏法(“7〉 □在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下血儿点。
-克拉索夫斯堆丘理只是渐近稳左的一个充分条件，不是必 耍条件。
丁如对于渐近稳定的线性定常连续系统j(x) = J(x) +J r (x) =不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
/可见•该定理仅是一个充分条件判别定理。
x(/) = /(x) V(x}^ x T x^ 丸拉次先斯览7) -若V(x)=f(x}f(x)止定，为Ly叩unov函数•则说明只右'"|*0 时才有Wr)=O,即原点是唯一的平衡态。
“因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克拉索夫斯皋定理判别渐近稳运性，并且山该泄理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范国渐近稳定的。
-山克拉索夫斯基定理对知，系统的平衡态％=0是渐近稳定的条件IiJ(x)+Z(x)为负定矩阵函数。
"由负定矩阵的性质知，此时雅可比矩阵丿(x)的对角线元索恒取负值•因此向虽函数f(x)的第/个分量必须包禽变駁心含则•就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。
”将克拉索夫斯卑定理推广到线性疋常连续系统可知:对称矩阵4+川负立，则系统的原点是大范用渐近稳定的。
丸拉索人斯肚注〔67>J例412试确定如下非线性系统的平衡态的忌定性:口解由于用)连续可导且/r(x)/(x) = (-3x| + x2)2 +(.V|-X2-X2)2 >0□町取作李雅普诺夫的数，因此•有兑拉廉夬浙临法(7/7)由塞尔维斯特准则有一6 2 5=-6<0> △?= 、二36x； + 8>02 2 61■，故矩阵函数j(x)负定，所以曲克拉索夫斯基定理可知，平衡态耳=0杲渐近稳定的。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
李雅普诺夫稳定性分析的方法
f ( x, t ), 且f (0, t ) 0 • 定理一.设系统的状态方程: x (坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统 存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并 满足下列条件：
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变 系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现 是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失 效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零 外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变 系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现 是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失 效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零 外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V
现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
克拉索夫斯基法 (1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
� 设非线性定常连续系统的状态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
� 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
� 对上述非线性系统 ,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
0
1
x1
x2
0
(x1 , x2 ,0,⋯ ,0)
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,⋯, x ) dxn
0
1 2
xn
n
变量梯度法 (5/10)
� 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
⎡ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + ⋯ + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ grad V = ⎢ 21 1 ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ a x + a x + ⋯ + a x ⎣ n1 1 2n 2 nn n ⎦
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
� 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 � 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 � 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 � 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
̇1 = x2 ⎧x ⎨ ̇2 = − x2 − x13 ⎩x
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
Lyapunov稳定性分析
第四章 Lyapunov 稳定性分析4.1 概述线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。
Lyapunov 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大〃 米哈依诺维奇〃李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
在这一历史性著作中，Lyapunov 研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统),(t x f x= 的给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的稳定性，等价于给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的扰动方程),~(~~t x f x = 之原点(或零解)的稳定性。
在上述基础上，Lyapunov 提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov 第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章4.1节为概述。
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
非线性控制系统的稳定性分析
非线性控制系统的稳定性分析非线性控制系统是指系统的行为不遵循线性定律的控制系统，包括非线性模型、非线性运动规律和非线性控制器等。
非线性控制系统具有复杂性和不确定性，其稳定性分析是非常重要的。
本文将探讨非线性控制系统的稳定性分析方法。
一、非线性控制系统的稳定性概述稳定性是指控制系统在外部扰动下，保持原有的运动轨迹或恢复到平衡状态的能力。
在非线性控制系统中，稳定性是保证系统优异性的必要条件。
根据理论研究和应用开发的需要，目前控制系统稳定性分析的研究可以分为两种方法：一是稳定性的直接分析法；二是利用控制系统的强稳定性和半稳定性的方法。
二、基于Lyapunov函数的稳定性分析方法Lyapunov函数法是非线性控制系统稳定性分析的一个经典方法，其思想是利用李亚普诺夫（Alexandre Mikhailovich Lyapunov）稳定性定理得到系统的稳定解。
在Lyapunov函数法中，最基本的思想是构造一个函数V(x)来描述系统状态x的稳定程度，如果对函数V(x)的一些约束满足，就可以证明系统是稳定的。
三、基于小区域稳定性的分析方法基于小区域稳定性的方法是通过对于非线性系统进行局部分析，得到系统小区域内的稳定性条件。
相对于全局的非线性稳定性问题，小区域稳定性问题更容易分析。
因为非线性系统具有复杂性，要从全局角度分析系统的稳定性，对系统的求解难度很大。
而小区域稳定性方法则可以利用系统的线性化等方法得到系统的小区域稳定性信息，使得分析更为简便。
四、基于鲁棒稳定性的分析方法对于非线性控制系统中的不确定性问题，鲁棒稳定性分析方法是最有效的一种方法。
鲁棒稳定性是指系统在外部扰动下保持稳定的能力，在存在不确定性的情况下，系统的鲁棒稳定性分析方法需要采用不确定性模型来分析系统的稳定性。
五、基于奇异扰动理论的分析方法奇异扰动理论源于力学中的雷瓦里耶-贝尔特拉米问题，它在控制论研究中应用较为广泛。
奇异扰动理论主要是把奇异扰动分为弱奇异和强奇异两种情况，并通过相关的分析技巧解决了这种情况下的系统稳定性问题。
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
i ( 1 ) Δ 0 , i 1 , 2 , , n i
(4-19)
即
0 , i 为偶数 Δ ( i 1 , 2 , , n ) i 0 , i 为奇数
V(x) 0，即 V( x)为半正定的,则称V(x)为半负定的。 （4）
V ( x ) 既可为正值也可为负值,则称 V ( x ) 为不定的。 （5 ）
在式（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正 定的,且记为 P 0 。以此类推,可定义二次型权矩 阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 P0 、 P0 、P0 。
二次型函数 V(x) x Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V(x) xTPx 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。
T
3．塞尔维斯特(Sylvester)准则
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
Δ a 0 1 11
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 引言 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例
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(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
x f ( x) f ( x) V ( x) x
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n gradV 21 1 a x a x a x 2n 2 nn n n1 1
式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t 的函数或x1,x2,…,xn的函数。
由于 V ( x ) f ( x ) f ( x )为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x ) f ( x ) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
(t ) f ( x ) x
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)
设所找到的非线性系统的判定平衡态 xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为 V ( x ),它是 x 的显函数 , 而不是时间 t 的显函数 , 则 V(x)的单值梯度gradV存在。
梯度gradV是如下定义的n维向量:
阿依捷尔曼法
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
(t ) f ( x ) x
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x) f ( x) / x
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
而rot(gradV)=0的充分必要条件是: gradV的雅可比矩阵
Vi gradV ( x) x x j
nn
是对称矩阵,即
Vi V j x j xi i, j 1, 2, , n
当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故 可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分
由gradV可得如下V(x)的导数
( x ) (gradV ) x V x2 [a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ] 3 x x 2 1 2 x1 x2 (a11 a21 a22 x12 ) x2 (a12 a22 ) a21 x14
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
1 0 1 x1 x x x 2 7 2 2
由于
1 6 0, 6 2 2 2 36 x 2 8 0 2 2 2 6 x2
ˆ ( x ) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。 设非线性定常连续系统的状态方程为
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
5) 确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。
变量梯度法 (7/10)—例5-14
由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李 雅普诺夫函数的充分性方法。 用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着 平衡态就不是渐近稳定的。 例5-14 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。
变量梯度法 (3/10)
由
V ( x ) V x 1 n (gradV ) x V x x1 xn
可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即
V ( x ) (gradV ) dx
0 x x n 0
Vi dxi
i 1
式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,…,xn)。
1 x2 x 2 x2 x13 x
解 显然xe=0是系统的平衡态。
可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为
V1 a11x1 a12 x2 gradV V a x a x 2 21 1 22 2
变量梯度法 (8/10)
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。
1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
V x V 1 1 dV gradV ( x ) dx V Vn xn
舒尔茨和吉布生建议 ,先假设gradV具有某种形式 , 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
1 f ( x ) 3 J ( x) 2 1 1 3 x x 2 2 6 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 2 2 2 6 x 2
克拉索夫斯基法(7/7)
由塞尔维斯特准则有
更进一步 , 当 ||x||→∞ 时, 有||f(x)||→∞, 则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
x f ( x) f ( x) V ( x) x
则其导数为
(t ) f ( x ) x
x f ( x) f ( x) V ( x) x
通常将aij选择为常数或t的函数。
变量梯度法 (6/10)
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
(5 31)
( x ) (gradV ) x ( x )。 定义 V 2) 由 V
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
解 由于f(x)连续可导且
3 2 f ( x) f ( x) (3x1 x2 )2 ( x1 x2 x2 ) 0
克拉索夫斯基法(3/7)
( x ) [ f ( x ) f ( x )] V f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。
在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法
由 场 论 知 识 可 知 , 若 梯 度 gradV 的 n 维 旋 度 等 于 零 , 即 rot(gradV)=0,则V可视为保守场,且上式所示的线积分与路 径无关。
V ( x ) (gradV ) dx
0
x
x n
0
V dx
i 1 i
i
(5 29)
变量梯度法 (4/10)
( x) 由平衡态渐近稳定时 V 为负定的条件,可以决定部 分待定参数aij。
3) 由限制条件
Vi V j x j xi i, j 1, 2,, n
式中决定其余待定参数aij。 4) 按式(5-31)求线积分,获得V(x)。
验证V(x) 的正定性,若不正定则需要重新选择待定Leabharlann 数aij,直至V(x)正定为止。
李雅普诺夫稳定性 分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14