人教版 九年级数学上册讲义 专题三 抛物线(二次函数)平行四边形存在性问题探究

专题三：抛物线（二次函数）平行四边形存在性问题探究导例：

如图，在平行四边形ABCD中，已知A（0,0），B（1,3），D（5,0）。

（1）你能求出点C的坐标吗？

（2）分别连接AC与BD，记它们的交点为O，你能求出点O的坐标吗？

通过问题（2）的求解，你能发现A、B、C、D四个顶点的坐标之间有什么关系吗？

是否所有的平行四边形四个顶点的坐标都有这样的关系呢？

在平行四边形ABCD中，A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D （x4,y4），AC与BD相交于点E，点E的坐标为（x，y）。

结论一：x1+ x3= x2+ x4（x1- x2= x4- x3）

y1+ y3= y2+ y4 （y1- y2= y4- y3）

结论二：x=x1+ x3

2

=x2+ x4

2

，y=y1+ y3

2

=y2+ y4

2

平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型，可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式，两点间距离公式，中点坐标），几何方法（构造全等三角形，相似三角形），这里我们只讨论如何用平行四边形的性质来解决相关的存在性问题，接下来就通过几道题目来整理一下这个方法。

★注意：在解决“两定两动”问题时，一定要在图上将平行四边形可能存在的情况全部画出来，再进行分类讨论。同时，对求出来的答案要进行验证，看是否符合条件，不符合条件的应当舍去。

题型一：三定一动（三个定点和一个动点）

例1：如图,抛物线y=x2+bx?c经过直线y=x?3与坐标轴的两个交点A，

B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M，A，B，D为平行四边形

的点M的坐标。

方法：分别以AB、BD、AD为对角线进行分类讨论（“三定一动”模型只需要讨论对角线的情况即可），然后利用平行四边形对角线互相平分的性质，配合用中点坐标计

★★★题型二：两定两动（两个定点和两个动点）

先说说平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为（a,n）、（b,m），根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7”“纵坐标-5”即可到点D的坐标。这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。

再说两定两动型平行四边形存在性问题的解决方法，一般可分为3个步骤：

（1）分析定点、动点；

（2）连接定线段，这时往往要分两种情况，若定线段是平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段是平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；

（3）结合图形进行验证.

例2：如图，抛物线y=x2-2x-3经过点A(2，-3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】抛物线y =x 2

-2x -3的对称轴为直线x=1，已知点A(2，-3)，可求得点B （-1,0），点N 在对称轴上，意味着点N 的横坐标为1，设M （m ，m 2-2m-3），下面按步骤求解：

（1）四个点A ，B ，M ，N 中，A 和B 是定点，M 、N 是动点；

（2）连接AB ，则定线段AB 有两种情况： ①当AB 为边时，平移AB ，由题意分别得到线段MN 和MN （如下图所示）

求M ：根据平移原理，A(2，-3)→B （-1,0）的平移为：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，即横坐标减去3，纵坐标加上3；则M →N 的平移肯定是一样的，因为点M 的横坐标为m ，向左平移3个单位后得到N 的横坐标为m -3，又因为点N 在抛物线y=x 2-2x -3的对称轴上横坐标为1，所以有m -3=1可解得m=4，代入抛物线解析式得M （4,5）.

求M ：类似思路由B →A 和 M →N 的平移可得到M （-2,5）

②AB 为对角线时，取AB 的中点D ，把定线段AB 绕点D 旋转（做题时可以借助直尺）得到线段MN （如下图所示）,因为在线段AB 上，点A(2，-3)，点B （-1,0）所以由中点坐标公式可得点D （12，?32），在线段MN 上，点M 和N 的横坐标分别为m 和1，其中点D 的横坐标为12，则由中点坐标公式得m+12=12

，进而得到m=0，所以M （0，-3）.

综上，符合题目的M 点的坐标共有3个，分别为（4,5）、(-2,5）、（0，-3）.

1、如图4，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N．

(1)直接写出点A，C，N的坐标．

(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．

(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．

2、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(?3,0),B(1,0),C(0,3)三点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解得k=1

故点M(0,5)，

则直线m的表达式为：y=x+5…②，

联立①②并解得：x=?1或?2，

故点P(?1,4)或(?2,3)；

(3)①当MC∥AQ且MC=AQ时，M与C关于对称轴x=?1对称，

∴AQ=MC=2，

∴Q1(?1,0),Q2(?5,0)，

②当AC∥MQ且AC=MQ时，点M到x轴的距离为3，

设M(m,?m2?2m+3)，

∴?m2?2m+3=?3，

∴m2+2m?6=0，

∴m=?1±√7，

∴Q3(2?√7,0),Q4(2+√7,0)；

综上：存在点Q有四个,分别为：Q1(?1,0),Q2(?5,0),Q3(2?√7,0),Q4(2+√7,0)

3、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(?2,0),OB=OA,且∠AOB=120°.

(1)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式。

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解答：

(2)存在，

∵△BOC的周长=OB+BC+CO，

又∵OB=2

∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O和点A关于对称轴对称

∴连接AB与对称轴的交点即为点C，

且有OC=OA

此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；点C为直线AB与抛物线对称轴的交点

)或(?3,√3)或(1,√3).

综上：点M的坐标为：M(?1,?√3

3

4、如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作

PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

解答：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．

抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b=0

b=3

解得：

k=-1

b=3

所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．

当x=1时，y=-1+3=2，

∴E（1，2）．

当x=m时，y=-m+3，

∴P（m，-m+3）．

在y=-x 2 +2x+3中，当x=1时，y=4．

∴D（1，4）

当x=m时，y=-m 2 +2m+3，

∴F（m，-m 2 +2m+3）

∴线段DE=4-2=2，

线段PF=-m 2 +2m+3-（-m+3）=-m 2 +3m

∵PF∥ DE，

∴当PF=ED 时，四边形PEDF 为平行四边形．

由-m 2 +3m=2，解得：m 1 =2，m 2 =1（不合题意，舍去）． 因此，当m=2时，四边形PEDF 为平行四边形．

②设直线PF 与x 轴交于点M ，由B （3，0），O （0，0），可得：OB=OM+MB=3． ∵S=S △BPF +S △CPF

即S=12 PF?BM+12 PF?OM=12 PF?（BM+OM ）=1

2 PF?OB ． ∴S=12 ×3（-m 2 +3m ）=?32 m 2 +9

2 m （0＜m ＜3）．