电磁场与电磁波(第八章)

f
1 ( )2
2a
1 ( )2
2a
第三节 谐振腔
❖普通集中参数振荡回路不适用于高频段： ➢频率很高时，波长短，对应的L和C元件尺寸减小，难 于设计； ➢随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集中 参数元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。
❖当工作频率比较高时，须采用空腔谐振器来做振荡回路
k 2Ez
0
2 Ez x2
2 Ez y 2
(2
k 2 )Ez
0
利用分离变量法解上方程，可以求得：
Ez C1 cos kx x cos ky y C2 sin kx xsin ky y
C3 cos kx xsin ky y C4 sin kxx cos ky y
式中：kx2
分量，即电场和磁场垂直于传播方向；
❖横磁波(TM波或E波):在波传播的方向上有电场分量，
但没有磁场分量，即磁场垂直于传播方向；
❖横电波(TE波或M波):在波传播的方向上有磁场分量，
但没有电场分量，即电场垂直于传播方向；
x
v E
TEMv波
x
v E
TMv波
x
v E
TE波v
y
v H
k
zy
v H
k
zy
v H
➢TE10模和TE20模之间的距离大于其他高阶模之间的距 离，因此可使TE10模在大于1.5:1的波段上传播。 ➢为单极化方向波。(m=1,n=0时 Ex=0 )
➢对于一定比值a/b，在给定工作频率下TE10模具有最小的 衰减。
1、TE10场量表达式和场结构
将m=1,n=0代入TEmn模式表达式中，可得：
m
a
H
0
sin
m
a
x
cos
n
b
y
e
z
矩形波导内TE波的传播特性
❖矩形波导内有无穷多个TE模式在传播，波导中的场 分布为所有不同模式场的叠加；
❖ kz , fc , c , vp , g 的求解公式与TM波相同。
❖与TM不同，TE波的m和n可以取零，但不能同时为零。 即存在TE10模和TE01模，但不存在TE00模。 讨论：m,n的意义：
k
z
二、导行电磁波的纵向场量表达式
设电磁波在无耗媒质中向(+z)方向传播，其角频率为 ,
则其电场表达式可以记为：
v E
v Eme
jt z
由麦克斯韦方程组
v
v
E jH
Ez y Ex z Ey
x
Ey z
Ez x
Ex y
j Hx
j
H
y
j Hz
Ez
y
Ey
j H x
和Hz表示其余的横向场分量Ex、Ey、Hx、Hy。
2、对于正弦电磁波，其满足的波动方程为亥姆
霍兹方程即
v 2E
k
v 2E
0
vv 2H k2H 0
所以，两个纵向场分量Ez和Hz可由亥姆霍兹方程
2Ez k2Ez 0 2Hz k 2Hz 0 及边界条件确定。
讨论：根据两纵向场分量存在与否，可对导行电磁波
x
a
图8.3.1 TE10模的管壁电流
3、波导波长和波阻抗
场结构图
将m=1,n=0代入公式，可以求得TE10模截止频率和 截止波长为：
fc
2
1
( )2 1 a 2a
c
v fc
2a
TE10模的波导波长为
g
1 ( fc )2
1 ( )2
f
c
TE10模的波阻抗为
Z TE10
1 ( fc )2
y
H y
j Ex
8.1.4b : Ex
Ez x
jH y
ZTEM
Ex Hy
TEM
j
j
TEM
TEM波的波阻抗与媒质本征阻抗相等。
❖相伴的磁场
v
H
1
ZTEM
evz
v E
1
evz
v E
与无界空间中均匀平面波的关系相同
2、当Hz=0, Ez0时(横磁波，TM波)
Ex
2
k2
Ez x
f
自由空间波速
v 1
相同频率的电磁波在波导内与在无界空间中相比，其
波长不相同。波导内的波长称为波导波长。
g
vp f
1 ( fc )2 f
为工作波长 2 v
kf
说明：1、m,n不能为零，即不存在
TM
0n或TM
m
模波；
0
2、波导波长大于自由空间波长；在填充相同媒质
的情况下，波导中的波速大于自由空间波速。
k
2 y
2
k2
由边界条件来确定四个待确定量C1,C2,C3,C4 .
由边界条件可知，在导体边界面上，电场切向为零。
Ez x0,a 0 Ez y0,b 0
由上边界条件，可确定出Ez的解为：
Ez
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
m 1, 2,3,L n 1, 2,3,L
振幅，其大小由激励源决定。
2 k 2 ( m )2 ( n )2
a
b
( m )2 ( n )2 2
a
b
由场量表达式
v E
v Eme
jt z可知：
➢当为纯虚数时，波为无衰减的行波 ； ➢当为正实数时，波存在衰减，不传播；
规定：当＝0时，称波导内的波处于截止状态，此时
波的频率为截止频率或临界频率， 用 fc 表示。
j Ez
通过数学变形，可以得到用纵向场分量Ez、Hz分 量表示的横向场量，即：
Ex
2
1
k2
(
Ez x
j
H z y
)
Ey
2
1
k2
(
Ez y
j
H z x
)
和
Hx
2
1
k2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
2
1 k2
(
H z y
j
Ez x
)
式中：k 2 2
说明：1、均匀导波系统中，可用两个纵向场分量Ez
E
y
2
k2
Ez y
H
x
j
2 k2
Ez y
H
y
j
2 k
2
Ez x
ZTM
Ex Hy
Ey Hx
j
相伴的磁场
v H
1
ZTM
evz
v E
3、当Ez=0, Hz0时(横电波，TE波)
Ex
j
2 k2
H z y
Ey
j
2 k2
H z x
H
x
2
k2
H z x
ZTE
Ex Hy
Ey Hx
二、TE波
对TE而言，Ez=0，由相类似的方法，可以求得TE波场
量表达式为： H z H0 cos
m
a
x
cos
n
b
y
e
z
Hx
h2
m
a
H
0
sin
m
a
x
cos
n
b
y
ez
Hy
h2
n
b
H
0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
e
z
Ex
j
h2
n
b
H
0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
e
z
Ey
j h2
Hz
H0
cos
a
x
H
x
jkz
a
H
0
sin
Baidu Nhomakorabea
a
x
E
y
j
a
H0
sin
a
x
H y 0; Ex 0
场结构图
式中，kz
k2 ( )2 k 1 ( )2
a
2a
(k )
2、TE10模在波导壁上激励的面电流密度分布
由边界条件，可以求出TE10模在矩形波导上激励起的
JJJJv感vvvssss 应xxyy0a0b面电nnnvevvnvevvy流zeevvHzyjHHkHH分Hjvvv0vkz c(0z布o(aJsevaev情v)sxyHev)ev况xHy0((nv0s。evev(isx(xenvHeieHvvxn(HyxHv(axHHxax0xxe)xevvz)zevHHevzezvHzHzxev)H)xzzxH)y0)x000cyoacbos(bsa(ayx)x)
e
z
式中：
h2
kx2
k
2 y
2
k2
( m
a
)2
( n
b
)2
矩形波导内TM波的传播特性：
❖由TM波的场分量可知，对应不同的m和n，有不同
的场量表达式，代表不同的TM场结构模式，用TM mn
表示；
❖矩形波导内有无穷多个TM模式在传播，波导中的场 分布为所有不同模式场的叠加；
❖ TM mn的传播系数
能传播任何电磁波。
Ⅱ区：单模区。当工作波长a 2a时，矩形波导中 只波能长，传播若单限一定的 电 磁a 波模，式可TE保10证模矩。形对波于导一单定模的传工输作。 Ⅲ区：多模区。2 当工作波长 a时，矩形波导中至
少可以传播两种以上的电磁波模式。
❖ 矩形波导中导波的波阻抗
ZTM
Ex Hy
j
进行分类：
1、当Ez=0,Hz=0时(横电磁波，TEM波)
当Ez=0,Hz=0时，由场量的纵向场表达式可知，要 想Ex、Ey、Hx、Hy有非零解，则有
k 2 2 0 TEM k2 jk j
❖其相位系数： k
❖TEM波的相速为：vp k
1
❖TEM波的波阻抗为：
8.1.5a : Hz
求出Ez后，则可由前面得到的场量z向表达式求出其他 几个分量表达式：
Ex
h2
m
a
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
e
z
Ey
h2
n
b
E0
sin
m
a
x
cos
n
b
y
e
z
H
x
j h2
n
b
E0
sin
m
a
x
cos
n
b
y
e
z
H
y
j
h2
m
a
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
模式简并。 矩形波导中TMmn和TEmn当m和n分别相等 时，为简并波形。
❖ 各种模式的截止波长分布如图：(a>2b)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
TM12 TE12 TE30
TE11 TM11 TE01
c
v fc
2
( m )2 ( n )2
a
b
TE20
TE10
2b a
2a
Ⅰ区：截止区。当工作波长 2a时，矩形波导中不
j
H
y
2
H z k 2 y
v
场量间关系： E ZTE
evz
v H
说明：TEM波只能存在于多导体导波装置内(如传输线, 同轴线)，TE,TM波可存在于金属空心波导内。
第二节 矩形波导
❖矩形波导是指横截面为矩形的空心 导波装置。
❖电磁波在导体空腔内传播
矩形波导
❖其内传播的电磁波不可能有TEM波， 只能是TE波和TM波。
一、TM波
设矩形波导内波向+z向传播，对TM而言，Hz=0。
由前面的分析可知，当求出波的z向分量后，就可以求
出其他的场Ev分量(，Ex因evx 此 ，Ey我evy们首Ez先evz需)e要jt求z出Ez的解。令
代入亥姆霍兹方程，只考虑Ez分量，有：
2 Ez x2
2 Ez y 2
2 Ez z 2
第八章 导行电磁波
❖导行电磁波(导波)：沿导波装置(如传输线，波导)传 播的电磁波。导行波被限制在有限的空间内传播。 ❖导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积。
矩形波导
平行双线
圆波导
同轴线
微带线
❖均匀导波装置：在垂直于导波传播的方向的横截面上，
导波装置具有相同的截面形状和截面面积。
本章主要内容： ❖导行电磁波的一般特性 ❖矩形波导中电磁波的特性 ❖谐振腔 分析方法：
导行波是在有限区域内传播的电磁波，因此场量必 须满足波动方程，同时还必须满足一定的边界条件。
本章通过求解特定边界条件下的波动方程，得到导 波场的解，从中可以分析得出在各种导波装置中波的 性质。
第一节 沿均匀导波装置传播的波的
一般特性
一、导波模式的分类
❖横电磁波(TEM波):在波传播的方向上没有电场或磁场
Ex
Ez x
j H y
Ey
x
Ex y
j H z
同理：
v H
v
j E
H z y H x z H y
x
H y z
H z x
Hx y
j Ex j Ey j Ez
H z
y
H y
j Ex
v E
v Eme
jt z
H x
H z x
j Ey
H y
x
H x y
❖谐振腔的主要参数：谐振波长和品质因素。 一、谐振腔中的电磁场
令谐振腔中Ev电 场Ex场evx 量 表Ey达evy式为Ez：evz
电场的各分量场量必满足亥姆霍兹方程。设u为谐振腔 中某场量表达式，则：
2u k 2u 0 (k 2 2 )
由分离变量法可以解出
u [ A1 cos(kx x) A2 sin(kx x)]
m表示在矩形截面长边上场量的半周期变化数；
n表示在矩形截面短边上场量的半周期变化数；
三、 矩形波导中存在的模式
c
v fc
2
( m )2 ( n )2
a
b
❖ 矩形波导中可能存在的模式有TMmn(m>0，n>0）和
TEmn(m0,n 0)，每种波型对应有各自的截止波长。
❖ 若不同的模式的波具有相同的截止波长，称为这两种
矩形波导（尺寸为a×b）的截止频率为：
( m )2 ( n )2 2
fc
2
1
( m )2 ( n )2
a
b
a
b
结论：当波的频率高于截止频率时，波能传播；当波的 频率小于截止频率时，波不能传播。
矩形波导具有高通特性(类似于滤波器)。
❖截止波长 c
截止频率对应的无界空间波长，称为截止波长。
c
1 ( fc )2 f
(
)
ZTE
Ex Hy
j
1 ( fc )2
( )
f
当 f ＝fc时，ZTE ，ZTM 0
三、矩形波导中的TE10波
在矩形波导中，大多采用TE10模，该模式有如下特点： ➢可通过设计的波导尺寸实现单模传输。 ➢截止波长相同时，传输TE10所要求波导尺寸最小，有 利于应用和节省材料。(但考虑波导的击穿和衰减问题， b不能太小)
v fc
2
( m )2 ( n )2
a
b
❖波的相速
j jkz
( m )2 ( n )2 2
a
b
z
2 [( m )2 ( n )2 ]
a
b
k 1 ( )2 k 1 ( fc )2
c
f
k 2 ( 2 )2 c
v
f
vp
kz
k
❖波导波长
1 ( fc )2
f
v 1 ( fc )2