导数的概念 课件
合集下载
5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
导数的概念课件
03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例 分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经 济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到 生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点 的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一 点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在 某一点的极值点与拐点，当一阶 导数大于0时，函数在该点单调 递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率， 可以计算出曲线的长度，即曲线 与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感 程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影 响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的 速度和加速度。例如，一个物体的位 移对时间的导数就是它的速度，速度 对时间的导数就是它的加速度。
5.1.2导数的概念及其意义课件(人教版)
x
1 1 lim 1 x
x0 x
1
lim (
) 1.
x0 1 x
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要 对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位 : C) 为y f ( x) x2 7 x 15( 0 x 8).计算第2h和第6h,原油 温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大 致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时 间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4， 0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
小结：
1.导数的定义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim lim f (x0 x) f (x0)
y
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f '(x0)
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 y f (x0 x) f (x0) （2）求平均变化率 y
2.求曲线y 2x2 1在点(1， 1)处的切线方程.
3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.
解 : lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x y = x 2+1
lim (1 x)2 1 (11)
x0
x
lim 2x (x)2 2.
导数的概念 课件
刻t0的速度．Δt越小， v 就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0
时，这个平均速度的极限v＝ lim Δt→0
ΔS Δt
＝
lim
Δt→0
St0＋Δt－St0 Δt
就
是物体在时刻t0的速度即为________．
2．导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx
无限趋近0时，比值
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
lim
Δx→0
Δy Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的
导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
3．对导数概念的理解 (1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些 量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的 一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实 际意义． (2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包 含着两层含义：
∴y′＝ lim
Δx→0
1 x＋Δx＋
＝1 x2
x.
∴y′|x＝1＝12.
题型三 导数的应用 例3 某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求 自运动开始到4s时，物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度． 分析 解答本题，可先求自运动开始到ts时的平均速度v(t) 及函数值的增量Δs，自变量的增量Δt，再利用公式求解即可．
解
自运动开始到ts时，物体运动的平均速度
－v
(t)＝
st t
＝3t＋2＋
4 t
，故前4秒物体的平均速度为
导数的概念课件人教新课标
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
导数的概念课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
(4) f(x) ＝ 1 ； x
(1)求第2秒内的平均速度；
(2)求第1秒末的瞬时速度；
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论: 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续, 连续未必可导
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数. (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f( x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
5.1.2导数的概念及其意义课件(第一课时)
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. f (6) 5 表示在第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为 5℃/h， 这说明在第 6 h 附近，原油温度大约以 5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
1
lim (
)
x0 1 x
1.
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
fa =
lim
Δx →0
f a + Δx -
Δx
fa
=
lim
Δx →0
1a + Δx
Δx
1 a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlim
Δx →
0
-
a
a
1 + Δx
x
x
x
所以 f (2) lim y lim (x 3) 3.
x x0
x0
同理可得 f (6) lim (x 5) 5. x 0
追问：f (2) 3 和 f (6) 5 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？
f (2) 3 表示在第 2 h 时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3℃/h的速率下降.
=
-
1 a2
归纳提升
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
(1)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(2)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
1
lim (
)
x0 1 x
1.
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
fa =
lim
Δx →0
f a + Δx -
Δx
fa
=
lim
Δx →0
1a + Δx
Δx
1 a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlim
Δx →
0
-
a
a
1 + Δx
x
x
x
所以 f (2) lim y lim (x 3) 3.
x x0
x0
同理可得 f (6) lim (x 5) 5. x 0
追问：f (2) 3 和 f (6) 5 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？
f (2) 3 表示在第 2 h 时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3℃/h的速率下降.
=
-
1 a2
归纳提升
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
(1)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(2)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.1 导数的概念
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程
，即 = . 对于变速直
时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，
→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值
x
log
1+
1
= 1 +
y
1
1
1 +
→0
y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y
点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程
，即 = . 对于变速直
时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，
→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值
x
log
1+
1
= 1 +
y
1
1
1 +
→0
y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y
点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )
课件2：5.1.2 导数的概念及其几何意义
答案：(1)A
(2)曲线 f(x)＝x3 在点(a，a3)(a≠0)处的切线与 x 轴，直线
x＝a 围成的三角形的面积为16，则 a＝________.
解析：(2)因为 f′(a)＝lim Δx→0
a＋ΔΔxx3－a3＝3a2，
所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为 y－a3＝3a2(x－a)．
令 y＝0，得切线与 x 轴的交点为32a，0，
2．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝( )
A．0
B．－3x
C．3
D．－3
解析：k＝ lim Δx→0
－3x＋Δx－Δ1x－－3x－1＝－3.
答案：D
3．设曲线 y＝x2＋x－2 在点 M 处的切线斜率为 3，则点
M 的坐标为( )
A．(0，－2)
B．(1,0)
C．(0,0)
D．(1,1)
方法归纳 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数 f′(x)； (3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0 得切点坐标．
微点 2 与曲线的切点相关的问题 例 4 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴围成的三角形面积．
方法归纳 1．求曲线上某点切线方程的三个步骤
2．过曲线外的点 P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为 Q(x0，y0)． (2)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)． (3)利用 Q 在曲线上和 f′(x0)＝kPQ，解出 x0，y0 及 f′(x0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
导数的概念与计算课件
第4页/共32页
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
第10页/共32页
专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
第10页/共32页
专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
5.1导数的概念单元课件
内容解析
| 知识框架
|
单元学习目标
|
重难点
|
教学策略
教学策略： 1.基于问题链的教学模式. 2.以提升学生的数学抽象与直观想象的核心素养为根本出发点，以抽 象生成导数的概念和直观感受导数的几何意义为明线，以感受 “用 运动变化的观点研究问题”、感受“以直代曲”的极限思想、体会 “类比概括”、“数形结合”的研究方法为暗线 3.建构导数概念，教师遵循“观察——归纳——抽象——概括”四个 层次.探究几何意义，教师遵循“类比——探究——归纳”三个层次.
2 1
h
o
t
学习目标 |情景引入
|课程讲解/探究
|例题与练习
|课堂总结
|当堂检测
|作业
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
并思考以下问题：
h( 65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
f
( x0
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2x0
x ．
当 x 取定值，x0 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
学习目标 |情景引入
|课程讲解/探究
|例题与练习
|课堂总结
|当堂检测
|作业
(2)已知某质点按规律 s 2t2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做
|当堂检测
|作业
体积
学习目标 |情景引入
|课程讲解/探究
|例题与练习
|课堂总结
|当堂检测
|作业
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作 f (x0 )，或 y xx0 ,即
f
(x0
)
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0
)
练一练
试求函数 f (x) x2 在x=1处的导数。
解： f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x)2 1
lim
x0
x
lim(2 x) 2 x0
在x=3处的导数？ f (3) 6
（2）求平均变化率 y ；
x
（2）取极限得导数
f
(x0 )
lim
x0
y x
.
1
x
x
x x 2 x 2
f (2) lim f lim
1
1
x0 x x0 2 x 2 2 2 4
【课堂小结】
1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时
变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．
2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体
在某一时刻的速度称为瞬时速度.
探究： （以高台跳水为例）
阅读课本P4页，思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度
当时间变化量趋于0的极限！
lim h(2 t) h(2)
t 0
t
2、在某一时刻 t 0的瞬时速度怎样表示？
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O
t 65 98
65 49
t
虽然运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速
49
度为 0(s / m)，但实际情况是运动员仍然运动，
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运
动员在任意时刻的运动状态．
问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
同理可得 f (6) 5
第2h 和第6h 原油温度的瞬时变化率分别为-3和5，说明根 据导数原油温度大约以 30c / h 的速率下降，在第6h附近， 原有温度大约以 50c / h 的速率上升.
例2. 已知质点M 按规律 s 2t 2 3做直线运动（位移单
位：cm,，时间单位：s）．
(1)当
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x) 的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0);
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
3.
求瞬时变化率(极限）f
( x0
)
lim
x0
y x
.
口诀：一差、二化、三极限
注意：
（1）函数应在点 x0 的附近有定义，否则导数不存在．
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
3、函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样 表示？
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
2.导数概念
一般地，函数 y=f(x) 在x x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim y
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x x0 的导数，记
导数的概念
问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 如何用运动员在某些时间段内的
平均速度v 粗略地描述其运动状态？
v h h(t0 t) h(t0 )
t
t
问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ h
t
2, t
0.01
时，求 s
t
；
(2)当 t 2, t 0.001时，求 s ；
t
(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度.
s s(t t) s(t) 2(t t)2 3 (2t2 3) 4t 2t
t
t
t
动动手：一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s(t) t 2
（位移单位：m,，时间单位：s）求小球在 t=5 时的瞬时
（2）在定义导数的极限式中，x 趋于0，可正、可负、
但不为 0，而y 可以为 0 ． y
（3）x 是函数 y=f(x) 对自变量 x 在x 范围内的平均变 化率，它的几何意义是过曲线 y=f(x)上点(x0 , f (x0 )) 及
点(x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
（4）导数f
(
x0
速度．
s (t t)2 t 2 2t t
t
t
例3. 利用导数的定义求函数 f (x) x2 3x 在x=2处的
导数.
f (x x)2 3(x x) (x2 3x) 2x x 3
x
x
动动手：已知 y f (x) x 2 ，求 f (2)
f x x 2 x 2
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
是函数y=f(x)在点
x0
处的瞬时变化率，它反映函数y=f(x)在点 x0 变化的快慢
程度．
例1. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需
要对原油进行冷却和加热． 如果在第 x 时，原油的温度
（单位：0c ）为 f (x) x2 7x 15(0 x 8)，计算第
2h 和第6h 原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解：第2h 和第6h 原油温度的瞬时变化率分别为 f (2)和f (6)
根据导数定义，f f (2 x) f (2)
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x 3
f (2) lim f lim (x 3) 3 x x0 x x0