离散变量优化问题

传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。
x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点；
x(3)是离散最优点。
将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
（2）定界 以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
（3）比较与剪枝
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。
以整型优化问题为例：
m ax Z x1 5 x2
松弛问题：
x1 x2 2
s
.t
.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1 , x 2 0 且 全 为 整 数
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
s
.t
.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
分枝定界法基本思想： 设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数
必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解
z 的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 。
(1)X *0 为整数解，则X*0 为(IP)的最优解 结束
(2) X *0 中至少有一个是分数，设x*01 是分数：分枝
子问题 L1 : 1、L1无最优解，剪枝 2 、 最 最 X z优 1 * 1 优 (x* 值 1， 1解 x* 1,2 ,x* 1 n),
(1)X *1 为整数解, z1为下界 关闭
( IP
2)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1
2
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
先求（LP1）,如图所示。
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x
1
x1
6
x2
30 4
x 1
1
先求（LP1）,如图所示。
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
z z 各分支的最优目标函数中若有小于 ，则剪掉这枝；若大于
且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题L0 : 1、L0无最优解， 则(IP)无最优解 结束 2 、X 最 * 0 ( x * 优 0， 1 x * 0, 2 解 ,x * o)n 最 , z 0优值
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。
例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
( IP 1)
目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
s
.t
.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1 , x 2 0 且 全 为 整 数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为
LP：
m ax Z x1 5 x2
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2。
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2。
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
( IP 1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1
1
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
即 Z（ 0 ）也是离散问题目标函数的上限。
松弛问题最优解： x* (x1, x 2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
对 于 x1＝1 8 / 1 1 1 .6 4， 取 值 x1 1， x1 2 对 于 x2 4 0 / 1 1 3 .6 4， 取 值 x 2 3， x 2 4
பைடு நூலகம்(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
子问题 L2 :
设已找到下界Zi0：
讨论子问题Lk :
若 L k 的最优值 Zk Zi0，剪枝 若 L k 的最优值 Zk Zi0；
(1)最优解 X*k 是整数解 将下界改为 Z k ,关闭Lk
(2)最优解 X*k 不是整数解 继续对Lk分枝
当所有的子问题均被关闭或剪枝后
x1 x2 2
s
.
t
.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
求出松弛问题最优解：
m ax Z x1 5 x2
x1 x2 2
s
.
t
.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x 1 , x 2 0
x* (x1, x 2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。
直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。
减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。
两种基本方法： （隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，
z 逐步减小 z ，增大 ，最终求到 z * 。
z z* z
三个基本操作：
（1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其
值为 b j ,以 [ b j ] 表示小于 b j 的最大整数。构造两个约束条件
x j [b j] 和x j [b j] 1