第3章 数值积分法-1

式（3-11）、（3-12）为一维高斯求积公式，
– 当f(x)为不超过2n-1次的多项式时，上述积分可得到完全精 确的结果， – 但对次数高于2n-1的多项式，则不能得到精确结果。 – 故当已知多项式f(x)的次数为m时，宜取n>=(m+1)/2。

对于二维或三维情况下的求积公式，可利用化重积分 为多次积分的方法，有

表3-1给出了n=1~7时所对应的七组xk与Ak值，由 此即得
– 上式称为高斯-勒让德求积公式，或简称高斯求积公式。
在[-1, 1]区间

对于一般积分区间[a, b]，可利用积分变量的变换
– 则变量t [-1, 1]， – 而积分变为
– 式中，B= (b-a)/2为与积分上、下限相关的系数。
– 式中，高斯积分点数n1, n2, n3可以互不相同，也可以相同。
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3.4 椭圆积分的数值计算

椭圆积分有三类，分别为第一、第二、第三类椭 圆积分；
– 每一类椭圆积分的表达式又有雅可比形式与勒让德形 式之分； – 而积分又有完全与不完全积分之区别。

在电磁场的数值计算中，椭圆积分的应用相当广 泛，尤其是完全椭圆积分。


原则一

数值积分也称为近似求积分法，它通过构造被积 函数的某种线性组合的逼近函数来近似求其积分 值。 如函数f(x)的定积分 f ( x)dx F (b) F (a) ，当被积函 数f(x)的原函数F(x)无法用初等函数表达时，则 可用另一具有足够逼近精度的简单函数g(x)来近 似替代函数f(x)。
显然上式近似求积的误差较大，为此：
– 如图3-2，将区间[a, b]分半，即取细分次数k=1， 得分段数n=2k=2，步长h=(b-a)/n=(b-a)/2； – 于是相应的梯形求积公式为

为提高数值积分的计算精度，可再继续将区间分 半：
– 即令k=2，k=3，…，对应地，积分区间等分数n=2k， 分点xk=a+kh(k=0, 1, …, n)变密，相应的步长h=(b-a)/n。 – 通过复合求积方法的应用，以改善求积精度：
3.2 梯形与辛普生求积公式
3.2.1 梯形求积公式

定积分
– 如图3-1，其积分值I在几何上为x=a和x=b之间函数 f(x)图形下面所围成的面积。
– 一种直观的近似方法，是以过A、B两点的线性函数 g(x)近似替代f(x)，由直线AB所界定的梯形面积来近 似替代原曲边梯形面积，得出梯形求积分公式：
– 例如环形线电荷的电场、弧形载流线圈的磁场、线形 回路的电感、经保角变换求解的许多电场或磁场问题 等，在分析计算中都将出现这类椭圆积分。

在三类椭圆积分中应用较多的是第一与第二类椭 圆积分（惟当三个变量时才用到第三类椭圆积 分），其标准形式分别为
– 第一类完全椭圆积分
– 第二类完全椭圆积分
– 式中，k称为积分模数(k2<1)。 – k值可由计算模型所决定的函数关系获得。
3.3 高斯求积公式

高斯积分法：就是对应于积分区间，选择某些积 分点（设为n个积分点），求出被积函数在这些积 分点上的数值，然后用相应的权系数乘这些函数 值，并求和，即可得出具有2n-1次代数精度的近 似积分值的方法。
在相同数量积分点的选取条件下，与其他数值积 分方法相比较，以高斯积分的精度最佳。
由上述讨论可见，复合梯形求积公式（3-3）、
（3-4）的基本思想是：
– 逐步缩小步长h，通过一序列T(h)，T(h/2)， T(h/22)，…，T(h/2k)去逼近I，
– 而在每个小区间采用线性函数近似被积函数f(x)。
3.2.2 辛普生求积公式

如用二次插值多项式—抛物线y=g(x)所围成的曲 边梯形面积近似替代y=f(x)所围成的曲边梯形的面 积，所得积分公式称为辛普生公式：
– 算Tn时的分点也是算T2n时的分点，故编程计算T2n时， 只需把新分点上的函数值算出加到Tn中去即可，得
xk 1 / 2 式中，
xk h / 2; h (b a) / n
– 这样，在计算T2n时，便可避免重复计算在算Tn时算过的 函数值f，可提高计算效率。
– 当满足T2n-Tn<e（e为根据计算精度要求所选取的精度指 标）时，T2n即为满足指定计算精度要求的积分近似值， 计算过程至此结束。


设有积分式
– 式中，r(x)称为积分区间[a, b]上的权函数，它应满足 一定条件，例如，在该积分区间[a, b]上r(x)>=0等。
– 对应于不同的权函数r(x)，便得到不同的高斯型求积公 式，其中r(x)=1是最常用的权函数。

现需寻求以上积分式I(f)的一个近似式In(f)，即令
高斯型求积公式
首先，使用梯形公式（3-2）分别求得每个子区间[xk,
积分值Ik， n 1 然后求和，用 I k 作为所求积分I的近似值。
k 0
xk+1]上的
– 由此便得复合梯形求积公式为
计算机编程

若当积分区间[a, b]为n=2k等分时，其结果尚不够 精确，则可把每个子区间再对半分，得2n=2k+1个 子区间，分别应用梯形公式计算。但注意到
电磁场正问题的数值分析

电磁场数值计算实质就是将电磁场原本连续的场 域的问题转换成了离散系统，并对其进行数值求 解，通过对场域离散化的模型上求得的各个点上 的数值解，近似逼近连续场域的真实的解。 电磁场数值计算随着计算机水平的发展，计算精 度也在得到不断的提高，究其基本原理，常用的 有：
– 基于求解微分方程的：
※在已知媒质、场源分布的基础上讨论场分布的 数值积分法。
※主要介绍高斯求积法、椭圆积分等的数值计算， 它们还是构造其它数值计算方法的内容。
3.1 概述

对于无限大、均匀且各向同性的媒质，当已知场 源分布求场分布时，基于库仑定律或毕奥—沙伐 定律均可导出关于场量、位函数的积分表达式。 数值积分法可以满足工程上由各种分布型态的场 源所激励的场分布以及有关电磁参数、能量、力 等积分量计算的需要， 并进而成为得出多种电磁场数值计算方法（如模 拟电荷法、等参数有限元法、边界元法等）数值 解的必要基础。
a b

– g(x)通常取为f(x)的代数插值函数或样条函数，
– 于是有
– 对于g(x)的不同函数构造，有不同的数值积分公式。
原则二

当积分区间[a, b]较大时，常先将积分区间分成n 个等长的小区间，并在每个小区间上采用相应的 数值求积公式计算积分近似值，然后求和得到所 求积分的近似值：
– 经上述处理得以提高数值积分精度的求积分公式也称 为复合的数值求积公式（或叫变步长的求积公式）。

同前，将区间[a, b]经k次等分，得n=2k个子区间， 则计算精度得以进一步改善的复合辛普生求积公 式：

可以证明，复合辛普生求积公式（3-6）与复合梯 形求积公式（3-3）、（3-4）有如下关系：

当求积公式的计算精度满足S2n-Sn<e时，S2n即为 所求的满足计算精度要求的积分近似值。


当kn值足够小，如kn<10-5时，K(kn) ≈p/2；E(kn) ≈p/2，此时按式（3-21）、（3-22）计算，可有 10-6以上的计算精度。 如用兰登变换递推3次（n=3），则式（3-21）、 （3-22）将简化为

– 以上两式在模数k接近于1时，有足够的计算精度。
一般，递推次数n应随模数k值的增大而增加，
有限元方法FEM、 时域有限差分方法FDTD、

传输线方法TLM；
– 基于求解积分方程(IE)的：
矩量法MOM、 多层快速多极子方法MLFMMA、 局部等效电路方法PEEC
等。

积分方程法是基于麦克斯韦方程积分形式的数值方法的总 称，由于是通过求解目标表面或目标体内的真实感应源或 等效源来获得场解，因此是基于“源”的方法；
使In(f)≈I(f)，并具有最大可能的代数精度。
– 式中求积节点xk（k=1, 2, …，n）位于区间[a, b]内,被 称为高斯积分点。

假定积分区间为[-1，1]，当给定权函数r(x)=1， 利用正交多项式来确定求积节点（高斯积分点） 时，
– 该正交多项式为勒让德多项式， – 而积分点x1, x2, …，xn即为n次勒让德多项式的n个零点， – 由此求得相应的求积公式的权系数Ak。
变步长辛普生积分法用于计算二重积分时，数值积 分的处理方法是：
– 将二重积分
– 分解为两个单积分求积：
– 具体地说，
首先固定某一个变量x的值，设为
7），得出对应的g( x )值； 然后依次计算，得出一系列的g( x )； 最终再应用式（3-7）便可得该二重积分S的近似值I。
x ，利用辛普生求积公式（3-
– 积分方程可以避免微分方程方法中场值传递过程中不可避免的误 差累积问题，同时也不需要对开域问题施加吸收边界条件，从而 使得求解区域为最小，仅限于目标表面或体内。

而微分方程法是基于“场”的方法，无法通过直接求解得 到远场，只能在近场基础上通过等效原理外推到远场，因 此会产生较大误差。
第3章 数值积分法

椭圆积分不能通过初等函数给以表示，故其计算 必须采用数值方法，常用的有以下几种方法：
– （1）级数展开式
– –
理论上，当项数n∞时，式（3-17）和式（3-18）趋于 真值。 实际分析表明，


在k值较小时，级数收敛较快，只要取前几项即有令人满意的精 度； 在k值较大时，级数收敛很慢，对应于较高的精度，须增加计算 项数。
– 例如若要求达到10-6精度，
一般在0<k<0.7时，应取n=2或n=3； 而在0.7<k<0.999时，可取n=4。 当0.999<k<1且需更高的精度，则须增加递推项数n。
当k非常接近1与k=1时，对应于通常的计算
精度，可采用近似公式

（2）算术几何平均法
–
式中数列初值
–
数列计算
–
式（3-19）和（3-20）适用于k=0.1~0.9场合，计算精 度较高，收敛速度也较快。

（3）近似计算公式
– 由兰登变换的递推关系，第一、二类完全椭圆积分可 分别记为
–
式中，k’为补模，有
–
由给定的模数k值，计算
– 这样，依次递推算得一系列： – 可以看出，kn值随递推次数增加而以平方率减小，