数分高代定理大全

数分高代定理大全

《高等代数》

第一章

带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.

定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.

定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式

()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.

定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，

()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.

定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .

定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由

()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .

因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式

1212()()()

()()()

(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式

的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,

,)i c i s =是一些非零常数.

定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的

1k -重因式.

定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.

定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.

定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数

121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,

1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.

代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.

复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.

实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.

定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=++

+是一个整系数多项式，而r

s

是它的有理

根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.

定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是

一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得

1.|n p a /

； 2.120|,,,n n p a a a --；

3.20|p a /

那么()f x 在有理数域上是不可约的.

第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12

n 都可以经过一系列对换互变，并且所作

对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.

定理 3 设11121212221

2

n n n n nn

a a a a a a d a a a =

，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成

立：

1122,,

0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧++

+=⎨

≠⎩当当 1122,,

0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧++

+=⎨

≠⎩

当l 当l 定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组

1111221121122222

1122,

,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵1112

121

22

212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

的行列式0d A =≠，

那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为

1212,,,,n

n d d d x x x d d

d

=

==

其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,n b b b 所成的行列式，即