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数学物理方程
第一章
绪论
四、定解问题的适定性 1、偏微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。 通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。 特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。 光滑解：可无穷次可微的解。 解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
那么u满足线性方程（或者线性定解条件）
L u L Ciui Ci f i
1 1
u Au Bu Cu F 抛物型方程的标准型形式
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2 3） ( x, y ) a12 a11a22 <0 原方程为椭圆形偏微分方程
u u Au Bu Cu F 椭圆型方程的标准型形式
2 由于 A12 A11 A22 a12 a11a22 )( x y y x ) 2 （ 2
为简化方程设作代换
x x(，），y y( , ), 即： ( x, y), ( x, y)
则由复合函数的求导有
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A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F
期中系数
A11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y
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§2、数学物理方程的基本概念
一、方程的概念——由未知量组成的关系式（等式）
1、按未知量的形式：
代数方程——未知量是数量； 函数方程——未知量是函数； 常微分方程——方程含有函数的导数； 偏微分方程——方程含有多自变量函数的偏导数；
积分方程——方程含有未知函数的积分；
2、方程的阶数——方程中出现的未知函数的最高阶偏导数。 可分为一阶方程、二阶方程、高阶方程
二、重要性 数学物理方程反映了自然科学和工程技术的各门分支中 物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关 系，是数学联系实际的一个重要桥梁,已经成为自然科学、 工程技术甚至经济管理科学等领域的研究基础。
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三、研究方法及本课程内容
1、一般研究程序： 1）将物理问题依有关定律建立相应的数学模型 2）对数学模型应用数学方法求解 3）将解答通过数学论证和实践检验鉴定其正确性 2、本课程内容：以三种典型方程的定解问题的求解方法 为主要研究内容，重点掌握 1）有关基本概念 2）典型物理问题方程的建立 3）常用的几种解法及典型例题求解
拟线性方程—未知函数的所有最高阶偏导数都是线性的 半线性的拟线性方程—最高阶导数的系数仅仅是自变量的函数
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三、定解条件和定解问题 1、定解条件
为完全确定一个物理状态所给出的初始状态和边界状 态，即外加的特定条件 (1) 初始条件：给出未知函数或其对时间的偏导数的起始状态
(2) 边界条件：给出未知函数在所求区域的边界上的值或导数 值或两者的线性组合。 S——给定区域v 的边界 如：
2 2 A22 a11 x 2a12 x y a22 y
可见若有 ， 使上两式为零，则原方程可以简化。
2 2 而 ， 恰是方程 a11 z x 2a12 z x z y a22 z y 0 的解
设 z ( x, y) c 是上述方程的解
则由复合函数求导得： z dy x dx zy
2 1） ( x, y) a12 a11a22 >0 原方程为双曲型偏微分方程
u Au Bu Cu F 双曲型方程的第一标准型形式
u u Au Bu Cu F 双曲型方程的第二标准型形式
2 2） ( x, y) a12 a11a22 =0 原方程为抛物型偏微分方程
( u u ) ( P, t ) n S
u ) s n
对于一般的线性边界条件
也可以写成算子的形式 L0 u (u
可以证明L0也是线性算子
数学物理方程 叠加原理1 设ui满足线性方程（或者线性定解条件）
L ui fi i 1, 2, m
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-----用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容 三个方程： 波动方程、热传导、拉普拉斯方程 四种方法： 行波法、分离变量法、格林函数法、积分变换法
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第一节 概述
一、 数学物理方程定义
绪伦
含有未知函数的偏导数的方程，是物理现象的数学描 述。包括微分方程和积分方程，主要是偏微分方程。
非线性方程——含有未知函数及其偏导数的非线性项，非线性项有三种形式： 1）未知函数本身为非线性的项，如
u 2 ,sin u, eu
2）未知函数偏导数的系数含有未知函数或其低阶导数项，
如
2 uu x , u x u yy , (sin u x )u yy
2 2 u 2 3）未知函数最高阶导数为非线性的项，如 ux sin(uxyy ), x uxx , e ux
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Ci u i 则它们的任意线性组合 u 也满足方程（或定解条件）
L u L Ci ui Ci f i
1 1
m
m
叠加原理2 设ui满足线性方程（或者线性定解条件）
L ui fi i 1, 2,,
又设级数 u Ci ui
1
收敛及满足其它必要条件
u |s f ( P, t )
u g ( P, t ) n s
( u u ) ( P, t ) n S
第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
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2、定解问题
1）泛定方程：通常称偏微分方程为泛定方程
2）把泛定方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了 一个定解问题。 3）定解问题的提法
(1) 初始问题（柯西问题）：只有初始条件，没有边界条件的 定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；依 所给边界条件的类型分为：第一类边值问题（Dirichlet问 题）；第二类边值问题（Neumann问题）；第三类边值问 题（Robbin问题） (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
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2、定解问题的适定性 为使定解问题的解能反映原来的物理现象，对数学上的解提
出的一些标准，称为适定性。包括存在性、唯一性和稳定性。
•解的存在性：所给定解问题有解；
•解的唯一性：所给定解问题只有一个解；
解的稳定性：当定解条件及方程中的系数或自由项有微小 变化时，相应的解也只有相应的微小变动。
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3、方程的线性与非线性：
线性方程——如果一个偏微分方程的未知函数及其各阶偏导数都是线性
的（一次幂），如m个自变量的二阶线性偏微分方程可写成如下形式
m 2u u aij ( x) bi ( x) c( x)u f ( x) 1 xi x j xi i, j i m
热传导方程
u 2u a2 2 t x
抛物型方程
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§4、线性叠加原理
线性方程的解具有叠加特性 对n个自变量的二阶线性偏微分方程
m 2u u L u aij ( x ) bi ( x ) c ( x )u f ( x ) xi x j xi i , j 1 i m
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§3、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式
m 2u u 1 aij ( x) x x bi ( x) x c( x)u f ( x) i, j i i j i m
特别对有两个自变量（x，y）函数的二阶线性偏微 分方程可写为：
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f x xy y x y
所以，判别式 ( x, y) 的符号在作变量代换时不变，即所 作变量代换不改变方程类型 例如：波动方程
2u 2u a2 2 0 t 2 x
02 1 (a 2 ) a 2 0
双曲型方程 椭圆型方程
位势方程
2u 2u 2 0 2 x y
02 11 0 02 1 0 0
dy 2 dy 从而上式变为常微分方程 a11 ( ) 2a12 a22 0 dx dx
—原方程的特征方程
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由一元二次方程的求解,可将特征方程分成两个方程：
2 dy a12 a12 a11a22 , dx a11 2 dy a12 a12 a11a22 dx a11
容易验证L是线性微分算子，即满足性质
1 L Cu CL u 、 （C为任意常数）
2、L u1 u2 L u1 +L u2
（u1、u2为任意函数）
综合得：对任意函数u1、u2和常数C1、C2有 L C1u1 C2u2 C1 L u1 +C 2 L u2
进而得特征方程的通解 z1 ( x, y) c1 和 z 2 ( x, y) c2 称为特征曲线
取 z1 ( x, y) 和 z2 ( x, y) 则A11，A22均为零，原方程可简化
2 根据判别式 ( x, y) a12 a11a22 的符号可将二阶线性偏微分方程化为3类