三角形面积公式之水平宽铅垂高叶茂恒

三角形水平宽铅垂高面积公式

三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。

今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。

想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。

水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。

”咱们来看个具体的例子。

假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。

首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。

B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。

接下来找铅垂高。

咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。

A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。

这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。

也就是 2×2÷2 = 2。

再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。

同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。

再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。

那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。

同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。

有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。

在实际生活中，这个公式也有大用处。

直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高

直角坐标系下三角形面积求法——水平宽铅垂高前一阶段我们探讨了一次函数和三角形的面积问题，后台有一些同仁提出了一些宝贵的看法，在此笔者表示感谢。

我们知道对于不规则三角形的面积肯定是用割补法，由此引申出一种水平宽铅垂高的做法，也就是铅垂法。

今天我们来深入地探讨一下铅垂法的做法依据。

我们先从三个顶点都确定的三角形来看。

如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，1）、B （3，4）、C（5，2），试求△ABC的面积。

显然这个三角形属于我们说的所谓不规则三角形（三条边均不和坐标轴平行，且不在坐标轴上），所以我们的基本思路是割补法。

由于此题相对来讲比较简单，我就简单用图形罗列一下各种不同的解法。

方法一：方法二：方法三：方法三是过点B作AC的平行线将不规则的△ABC转化为规则的△ADC从而来求解的过程，其实我们还可以过点A作BC的平行线或者过点C作AB的平行线来进行转化。

鉴于这不是本文研究的重点，另外两种方法在此略过。

方法四：方法五：方法六：方法七：方法八：方法九：方法四、方法五都是在点B处处理，方法四是在点B处作y轴的平行线，方法五是在点B处作x轴的平行线；方法六、方法七都是在点A处处理，方法六是在点A处作y轴的平行线，方法七是在点A处作x轴的平行线；方法八、方法九都是在点C处处理，方法八是在点C处作y轴的平行线，方法九是在点C处作x轴的平行线。

我们再来研究这六个图：如果我们对这六种方法都进行运算、思考，我们就会发现△ABC的面积为图中两个红色线段（一横一竖）乘积的一半。

这就是所谓的铅垂法求面积。

那么如何构造这些线呢？我的看法是选三角形的两个顶点（比如A和B），将AB之间的横坐标体现的横着的线段找出来（图５中的AM），最后一个顶点C作竖着的直线交AB边于点D，此时竖着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。

或者将AB之间的纵坐标体现的竖着的线段找出来（图6中的AM），过第三个顶点C 作横着的直线交AB边于点D，此时横着的线段就是CD，然后利用AM和CD乘积的一半来求解。

水平宽铅垂高求三角形面积完整版

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x，），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级）如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级）如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P相等，则可得PC ’三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂解.解析：过线，则OB 而PE 度）由AB 的解析式可以得OA ，OB ＝1，而P的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点，所以PE ＝-a 从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭，解得42a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG g . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）.例3（适合九年级）如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q 使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-；当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=，xyEDBA C OPxy EDBCOP即当P（－1，8）或P（4，3）时，S△PBD=6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。

铅垂线定理求三角形面积_概述说明以及解释

铅垂线定理求三角形面积概述说明以及解释1. 引言1.1 概述铅垂线定理是三角形几何学中的重要概念，可以通过该定理求解三角形的面积。

在实际生活中，我们经常会遇到需要计算三角形面积的情况，比如建筑设计、地理测量等。

因此，了解和应用铅垂线定理对于准确计算三角形面积具有重要意义。

1.2 铅垂线定理简介铅垂线定理（又称高度定理）是指在一个三角形中，如果某一条边上的高（即垂直于底边且与底边相交于顶点）被引出，则该高可将底边分成两个互为共轭的部分，并且这两个部分上对应的底边长度与高成正比。

具体而言，假设在三角形ABC中，AB为底边，CD为通过顶点C且垂直于AB的高，则有CB/CA=CD/AB。

1.3 目的本文旨在全面介绍铅垂线定理以及其在求解三角形面积中的应用。

通过深入剖析铅垂线定理的原理和推导过程，我们将探讨它在规则和不规则三角形面积计算中的具体运用方法。

同时，我们还将探讨铅垂线定理在数学教学中的重要性，并提供一些简单易懂的教学方法和实例，帮助学生更好地理解和应用该定理。

最后，我们将总结本文的主旨和要点，并展望未来铅垂线定理在更多领域的应用潜力。

同时，我们也会指出当前研究中存在的局限性以及可能改进之处。

2. 铅垂线定理原理解析:2.1 定义与概念:铅垂线定理是指在一个平面内，对于任意给定的三角形ABC，如果通过顶点A 作BC边的铅垂线，则这条铅垂线可以将三角形分割为两个叠加的直角三角形ACD和ABD。

其中，AD被称为铅垂线，且满足AD ⊥BC。

铅垂线定理是三角形几何学中重要的基本原理之一。

2.2 三角形铅垂线定理述评:铅垂线定理具有广泛的应用价值和意义。

它为解决各类与三角形相关问题提供了有效的数学手段，尤其在求解三角形面积方面起到关键作用。

通过采用铅垂线定理，我们能够将一个不规则的三角形转化为两个直角三角形，并通过计算直角三角形的面积来得到整个三角形的面积，简化了计算过程。

2.3 铅垂线定理推导与证明:要推导和证明铅垂线定理，首先需要利用欧几里得几何体系中已知命题和性质进行推演。

数学类铅高乘以水宽

数学类铅高乘以水宽
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。

物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。

多用于建筑测量。

用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。

铅垂线地球重力场中的重力方向线。

它与水准面正交，是野外观测的基准线。

悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。

判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。

此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。

(完整版)水平宽铅垂高求三角形面积.doc

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时 .
例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB= S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）B（1，）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1， /3）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得 ∴
∴抛物线解析式为：
(2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称
∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵
∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解
∴ ∴Q(－1，2)
（3）答：存在。理由如下：
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．
25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

铅垂高水平宽面积公式

铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积的公式主要有以下三种：
一、公式1：面积= 泊松号 X 铅锤长度^²
①泊松号：指一个水体中水深和宽度的比值，根据泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。

②铅锤长度：指用铅锤测定水体深度的时候，把铅锤垂直向下投放的距离，也就是两支铅锤的总长度。

二、公式2：面积= 2 X 垂膨泊松号 X 铅锤长度 X 面积系数
①垂膨泊松号：指水体中水深（投放铅锤时，从投放点到水体底部的距离）和宽度的比值，根据垂膨泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。

②铅锤长度：与公式1中定义相同。

③面积系数：指水体宽度在铅锤投放时会发生变化而产生的影响，通过查阅相关资料可以确定面积系数的大小。

三、公式3：面积= 2 X 水柱体积 X 面积系数
①水柱体积：指用两支铅锤测量水体的时候，铅锤之间的柱体积，也就是一个整体的一个立方体的体积。

②面积系数：与公式2中定义相同。

水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.DBAOyxPCBAOyxBC铅垂高水平宽ha图1例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以图-2xCOyABD11(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为例3．（2015江津）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴抛物线解析式为：(2)存在。

三角形面积铅垂法公式

三角形面积铅垂法公式
就是沿三角形的最高点做一条垂直于平面的直线,另外两点作这条线的垂线,如果在平面直角坐标系中,两条高就是两个点横坐标的差,再求出那条直线在三角形内的长就行了。

设三角形abc，铅垂线ad垂直bc焦点d，面积为ad*bc/2。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常用的三角形按边棕斑普通三角形（三条边都不成正比），等腰三角（腰与底左右的等腰三角形、腰与底成正比的等腰三角形即为等边三角形）；按角分存有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形泛称横三角形。

从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.DBAOyxPCBAOyxBC铅垂高水平宽ha图1例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以图-2xCOyABD11(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为例3．（2015江津）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴抛物线解析式为：(2)存在。

铅垂定理求三角形面积

铅垂定理求三角形面积铅垂定理求三角形面积，这听起来就像一门深奥的数学课，实际上，咱们可以把它聊得轻松有趣。

想象一下，三角形就像一个风筝，飞在蓝天上，下面是大地，风儿轻轻吹动。

这时候，铅垂线就像那根系着风筝的线，稳稳地把风筝拉住，确保它不飞到哪里去。

好啦，今天咱们就来一起看看，如何用铅垂定理来算三角形的面积。

说到三角形面积，很多朋友可能会觉得有点头疼。

哎呀，别担心，咱们不是要参加数学竞赛，而是要让这事儿变得简单明了。

三角形的面积公式其实很简单，就是底乘高再除以二。

这个底和高就像咱们生活中的两个好朋友，底就是那稳稳的根基，高就是那高高在上的梦想。

把它们结合在一起，就能得到一个完美的结果。

想象一下，你在户外野餐，看到一块完美的草地，那里有一个漂亮的三角形区域。

你想给朋友们铺上野餐垫，享受美好的时光。

要知道，这个区域的面积可是关乎到大家能否舒舒服服地坐下来的关键。

你得量量这个三角形的底。

嘿，别小看这一步！量底的时候可得仔细，心里默默算算，底的长度是多少？找出高，也就是从底到对角的那根铅垂线。

这个高可能是在你心里画出的，也可能是在实际的地面上测量出来的。

高和底结合，再乘以二，哇，瞬间得到面积，大家都能尽情享受美味的食物了。

不过，别以为仅仅是这样简单。

铅垂定理在这里可不是简单的数数。

它的奥妙在于，能帮助我们准确找到高，而这个高的概念就像是生活中的某些事情，往往看似简单，实际上却有很多小细节要注意。

想象一下，如果你的风筝线没系好，风筝可能会飞走。

同样的，如果你在计算面积的时候，忽视了高，那么结果可就大大不如意了。

咱们可以再举个例子，想象一下，你正在准备一场派对，邀请了很多小伙伴。

为了确保每个人都有足够的空间，你得先测量一下场地，确保三角形的面积足够大。

找好底之后，再从底的两端直线测量到对边，这样就能找到理想的高。

然后，像厨师调配食材一样，把底、高都放进去，调出那个完美的三角形面积，让每个人都坐得舒舒服服。

这样一来，大家就可以开开心心地聊天，享受派对的欢乐气氛。

三角形面积铅直高乘水平宽

您所指的公式是指三角形的面积，当三角形的高度是从基底到相反顶点的垂直线时，三角形的宽度是基点两个端点之间的水平距离。

公式是：
面积=（1/2）x底座x高度
其中底座是三角形的水平宽度，高度是从底座到相反顶点的垂直距离。

这被称为“按基数和高度划分的三角形面积”公式，它适用于任何三角形，无论其形状或大小。

该公式之所以有效，是因为三角形的面积等于其基数和高度乘积的一半。

需要注意的是，只有当高度是从基底到相反顶点的垂直线，并且宽度是基座两个端点之间的水平距离时，这个公式才有效。

如果高度不是垂直的或宽度不是水平的，公式将不起作用，应使用其他方法来找到区域。

铅垂法算三角形面积的公式

铅垂法算三角形面积的公式铅垂法是一种常用的三角形面积计算方法，它基于三角形的底边和高，通过求得三角形的底边长度和垂直高度，进而计算出三角形的面积。

在几何学中，三角形面积计算是一个基础而重要的问题，而铅垂法正是解决这一问题的有效方法。

我们需要明确铅垂法的基本原理。

对于任意一个三角形ABC，我们可以作出一条垂直于底边AB并经过顶点C的线段CD，将三角形分割为两个直角三角形ACD和BCD。

根据直角三角形的性质，我们可以通过底边AB和高CD的长度，计算出两个直角三角形的面积，然后再将它们相加，即可得到整个三角形ABC的面积。

接下来，我们来具体讨论如何计算三角形的底边和垂直高度。

首先，我们需要确定底边的长度。

底边的长度可以通过两个顶点的坐标计算得出。

假设顶点A的坐标为(x1, y1)，顶点B的坐标为(x2, y2)，那么底边AB的长度可以通过勾股定理计算得出：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)接下来，我们需要确定垂直高度的长度。

垂直高度的长度可以通过顶点C的坐标计算得出。

假设顶点C的坐标为(x3, y3)，那么垂直高度CD的长度可以通过以下公式计算得出：CD = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)其中，A、B、C分别为直线AB所对应的一般方程Ax + By + C = 0的系数。

有了底边AB和垂直高度CD的长度，我们就可以计算出两个直角三角形ACD和BCD的面积了。

根据直角三角形的面积公式S = 1/2 * 底边长度 * 高的长度，我们可以得到：SACD = 1/2 * AB * CDSBCD = 1/2 * AB * CD将两个直角三角形的面积相加，即可得到整个三角形ABC的面积：SABC = SACD + SBCD = AB * CD通过以上步骤，我们就可以利用铅垂法准确地计算出三角形的面积了。

需要注意的是，在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择不同的坐标系和计算方法，以便更方便地计算三角形的面积。

铅垂高水平宽求三角形面积的原理

铅垂高水平宽求三角形面积的原理以铅垂高水平宽求三角形面积的原理为题，我们将从三角形的定义、铅垂线的概念以及如何利用这些概念来求解三角形面积等方面进行讨论。

让我们回顾一下三角形的定义。

三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，而三个顶点则是这些边的交点。

根据三角形的性质，我们可以将三角形分为不同的类型，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

接下来，我们来介绍一下铅垂线的概念。

铅垂线是从一个点向一个平面垂直下落的线段。

在三角形中，我们可以通过顶点向对边引一条垂直线，这条垂直线即为铅垂线。

铅垂线与对边的交点称为垂足。

利用铅垂线，我们可以将三角形分割为两个直角三角形，从而简化问题的求解。

那么，如何利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积呢？我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。

在这里，底边长即为水平宽，高即为铅垂高。

为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB为底边，C为顶点，D为AB 的中点，AD为铅垂高，CD为水平宽。

我们最终的目标是求解三角形ABC的面积。

我们可以通过测量或已知条件得到底边AB的长度和铅垂高AD的长度。

接下来，我们可以利用铅垂线的性质，将三角形ABC分割为两个直角三角形ACD和BCD。

对于直角三角形ACD，我们可以利用三角形面积公式S = 1/2 * 底边长* 高来求解。

在这里，底边长即为水平宽CD的长度，高即为铅垂高AD的长度。

将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形ACD的面积。

同样地，对于直角三角形BCD，我们也可以利用三角形面积公式求解。

底边长为水平宽CD的长度，高为铅垂高AD的长度。

将这两个值代入公式中，即可计算出直角三角形BCD的面积。

我们将直角三角形ACD和BCD的面积相加，即可得到三角形ABC 的面积。

通过以上步骤，我们可以利用铅垂高和水平宽来求解三角形的面积。

这种方法可以简化计算过程，减少复杂度，提高求解效率。

铅垂法求三角形面积

铅垂法求三角形面积铅垂法是一种求三角形面积的常用方法之一。

这种方法的核心思想是先在三角形的某个顶点画一个垂线，把三角形分成两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积，最后将它们相加得到整个三角形的面积。

在应用铅垂法时，我们需要掌握以下三个重要的基本概念：1.直角三角形的面积公式：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为a和b，那么这个三角形的面积就是(a*b)/2。

2.直角边：对于一个直角三角形，其中那条与直角相邻的边就被称为直角边。

3.高：直角边上的垂线就被称为三角形的高。

接下来，我们来看看铅垂法具体的计算步骤。

1.选择一个顶点，画一条垂线。

2.这条垂线将三角形分成两个直角三角形。

3.计算左边的直角三角形的面积。

为此，需要测量该直角三角形的直角边和高。

如果直角边长为a，高为h，则该直角三角形的面积就是(a*h)/2。

4.计算右边的直角三角形的面积。

同样，需要测量该直角三角形的直角边和高。

如果直角边长为b，高为h，则该直角三角形的面积就是(b*h)/2。

5.将两个直角三角形的面积加起来，即(a*h)/2 + (b*h)/2 = (a+b)*h/2。

6.最后得到的结果就是整个三角形的面积。

那么，如何选择合适的顶点呢？一般来说，选择以已知量为边的顶点进行计算可以使计算更加简单。

同时，也可以根据需要选择其他顶点来计算三角形面积。

铅垂法是求解三角形面积的重要方法之一，可以应用于各种各样的情况，比如计算平面图形的面积，或者测量某个建筑物的高度等。

掌握这种方法，可以让我们更加便捷地进行各种计算，也为数学学习和实际应用提供了极大的方便。

水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =图1因此2y x=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得，因此直线AB为y x=+x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）. （4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()213212PAB PAD PBD D P B AS S S y y x xx∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⎫=+⎪⎝⎭当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS∆；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S △CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=xay把A（3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=xxxy设直线AB的解析式为：bkxy+=2由3221++-=xxy求得B点的坐标为)3,0(xCOyABD11把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。

三角形面积公式——之水平宽铅垂高

三角形面积公式——之水平宽铅垂高三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三个边和三个角组成。

理解三角形面积的公式对于解决各类几何问题至关重要。

有几种不同的方法可以计算三角形的面积，其中一种基本方法是使用三角形的底和高的长度。

在本文中，我将详细介绍水平宽和垂直高的概念，并展示如何使用这些概念来计算三角形的面积。

水平宽是指从一个顶点到另一个顶点的水平距离，也就是三角形的底边。

垂直高是指从三角形的一个顶点到底边上的垂直距离。

水平宽和垂直高之间的关系可以用来计算三角形的面积。

首先，我们需要明确水平宽和垂直高对于三角形面积的重要性。

在一个三角形中，两个相邻边形成一个角，而这个角的大小取决于它们之间的夹角。

为了计算这两个边之间的角度，我们需要引入正弦和余弦等三角函数。

在一个直角三角形中，正弦函数定义为垂直高与斜边之间的比例，即sin(θ) = h/c，其中θ是角度，h是垂直高，c是斜边的长度。

正弦函数在大多数三角函数表中都有详细的值，可以通过查表或计算器来获得。

现在，让我们考虑如何使用水平宽和垂直高来计算三角形的面积。

首先，我们需要将水平宽和垂直高表示为变量。

假设水平宽为b，垂直高为h。

根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边的长度乘以垂直高的长度的一半，即A=(1/2)*b*h。

这个公式的推导可以用几何方法或三角函数来解释。

从几何的角度来看，可以将三角形划分为两个直角三角形，每个直角三角形的面积等于底边长度乘以垂直高的长度再除以2、因此，整个三角形的面积等于这两个直角三角形的面积之和。

另一种推导方法是使用三角函数。

根据正弦函数的定义，sin(θ) =h / c，其中h是垂直高，c是斜边的长度。

我们可以通过将等式两边都乘以c来得到h = c * sin(θ)。

由于三角形的面积等于底边乘以高的一半，所以A = (1/2) * b * h = (1/2) * b * c * sin(θ)。

这个公式的意义在于，我们可以用底边长度、斜边长度和夹角的正弦值来计算三角形的面积。