2021年高考数学二轮复习 函数性质在运用中的巧思妙解专题检测(含解析)

2021年高考数学二轮复习函数性质在运用中的巧思妙解专题检测（含解

析）

1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝

1

3x＋2 013

－a，则f(log3

1

2

)

＝________.

答案

1

2 015×2 014

解析由题意，可知函数f(x)为奇函数，

所以f(0)＝

1

30＋2 013

－a＝0，

解得a＝

1

2 014

，所以当x≥0时，

f(x)＝

1

3x＋2 013

－

1

2 014

.

所以f(log32)＝

1

3log

3

2＋2 013

－

1

2 014

＝1

2 015－

1

2 014

＝－

1

2 015×2 014

.

从而f(log31

2

)＝f(－log32)

＝－f(log32)＝

1

2 015×2 014

.

2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＝________.

答案337

解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.

∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，

当－1≤x<3时，f(x)＝x，

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，

f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，

f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2 010

6

＝335.

而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝335＋2＝337.

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．

答案(－∞，－2]

解析设x<0，则－x>0.

f(－x)＝(－x)2，

又∵f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－x2.

∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(2x)．

∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(2x)⇔x＋t≤2x在[－2－2，2＋2]上恒成立，

∵x＋t≤2x⇔(2－1)x≥t，

要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t

⇒t≤－2即可．

4．(xx·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是

________．

答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2

解析 由题意知a >0，又log a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，

∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log a )， ∵f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，

∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，

∴a ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2.

5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′

(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2

)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 14)·f (log 14

)，则

a ，

b ，

c 的大小关系是________． 答案 b >a >c

解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称， 所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，

所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 函数y ＝xf (x )单调递减，

从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．

因为1<20.2<2,0

4

＝2，

从而0

4

，

所以b>a>c.

6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：

①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；

②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；

③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．

则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________．

答案f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)

解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．

所以f(4.5)＝f(4＋1

2

)＝f(

1

2

)，

f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，

f(6.5)＝f(4＋5

2

)＝f(

5

2

)．

又f(x)在[0,2]上为增函数．

所以作出其在[0,4]上的图象知

f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．

7．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当

x∈[0,2)时，f(x)＝log

8

(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．

答案1 3

解析当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)，

故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．由函数f(x)在R上为偶函数，

可得f(－2 013)＝f(2 013)，

故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)，