数值分析2-6(分段低次插值)

l
j
(
x)
( (
x x
x x
j1 j1
) )
/( /(
x x
j j
x x
j1 ), j1 ),
x x
j1 jx
x x
xj( j1 (
j j
0略去) n略去)
0,
x [a,b], x [ x j1, x j1]
3.分段线性插值法举例
f
(
x
)
1
1 x
2
，在 [-5,5] 区 间 上 取 分点为插值节点。
x
2.5 2.5
,
x [2.5,5]
0, x [5,5], x [2.5,5]
几点说明： 1°分段线性插值多项式最终总要分段。
2°整体表示法的基函数具有局部非零性。
3°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很
好逼近f(x)。 4°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，
即一阶导数不连续，不够光滑。
第二章 插值法 §6 分段低次插值
一、多项式插值的问题 二、分段线性插值 三、分段三次Hermite插值
一、 多项式插值的问题
思考： 对函数
f (x)
x2与
g(x)
1 1 x2
求插值多项式，是否多项式的
次数越高逼近精度越好？
答案：否！
对 f ( x) x2次数越高逼近精度越好
对
g(
x
)
1
1 x
2
次数越高逼近精度越差(龙格现象)
下图对
g(
x
)
1
1 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
如果在区间[-5，5]上取11个
等距节点
xk 5 k (k 0,1,,10)
由拉格朗日插值公式可得到 f(x)的10次插值多项式P10(x)
从图中可以看出，P10(x)仅在 区间中部能较好地逼近函数 f(x)，在其它部位差异较大， 而且越接近端点，逼近效果 越差。可以证明：当插值基 点 无 限 加 密 时 ， Pn(x) 也 只 能 在很小范围内收敛，这一现 象称为龙格(Runge)现象，它 表明通过增加基点来提高逼 近程度是不宜的。
0,
x [ x0 , x2 ]
x5 2.5
,
x0
,
2.5 0
0,
x [5,2.5) x [2.5,0) x [5,2.5]
类似 l1( x) 可得 l2( x)和l3( x) ，这里省略。
最后，l4( x)为
l4
(
x
)
x x4
x3 x3
,
x [x3, x4]
0, x [5,5], x [ x3 , x4 ]
下面的分段三次Hermite插值将克服这 一缺点。
三、 分段三次Hermite插值
1.数学描述 设在[a,b]上给出插值条件：
xi
x0
x1
… xn
f(xi)
f0
f1
… fn
f ( xi ) f0 f1 … fn
求一个分段插值函数Ih(x)满足
1° Ih( xk ) fk , Ih ( xk ) fk, k 0,...,n
l0
(
x)
0, x [5,5], x x1 , x0 x1
x [x0, x [x0,
x1 ] x1 ]
0x, x22.5.5[, 5,5],
x x
[5,2.5] [5,2.5]
l1 (
x)
x x0
x1 x0 x x2 x1 x2
, x [ x0 , x1 ] , x [ x1 , x2 ]
2°Ih(x) 在 每 个 小 区 间 [xk,xk+1] 上 是 三 次 多
项式
则称Ih(x)为分段三次Hermite插值多项式
2.两种表示方法
分段表示
整体表示
3.分段三次插值法的优缺点
优点： 1°n充分大时，Ih(x)能很好逼 近f(x)。
2° 因 为 一 阶 导 数 连 续 ， 故 光 滑性较好。
为提高插值精度 矛盾！
增加节点
拟合效果变差
多项式次数增加
龙格现象
怎么办?
解决办法：采用分段低次插值
二、 分段线性插值
1.数学描述 设在[a,b]上给出插值条件：
xi
x0
x1
… xn
f(xi)
f0
f1 … 可fn否省略？
求一个折线插值函数Ih(x)满足 1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数
2°Ih(xk)=fk，k = 0,1,…,n
缺点： 需提供插值点处的一阶导数， 这在实际工作中较困难。
用较少的 导数条件
构造较光滑的 分段多项式？
样条函数法是解决 这一问题的途径！
3°Ih(x) 在 每 个 小 区 间 [xk,xk+1] 上 是 线 性 函
数
则称Ih(x)为分段线性插值函数
2.两种表示方法
分段表示
Ih
x xk1 xk xk1
fk
x xk xk1 xk
f k 1
( xk x xk1 )
整体表示
Ih(x)
n j0
f
jl
j ( x)
其中l j ( x) 是基函数，其形式为
5
个
等
解： 分段表示
I 2.5
(
x)
x 2.5 x 5 , 2.5 26 2.5 7.25
x 0 x 2.5 , 2.5 7.25 2.5
……
x [5,2.5]
x [2.5,0] x [0,2.5] x [2.5,5]
整体表示
I2.5 ( x)
4 j0
f
jl j(x)
其中l j ( x) 是基函数，其形式为