高中数学排列组合典型例题精讲

高中数学排列组合典型例题精讲
概念形成
1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
合作探究二 排列数的定义及公式
3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出
m 元素的排列数，用符号m n A 表示
议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
4、排列数公式推导
探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m
A n 呢？ )1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个
因数是1n m -+，共有m 个因数；
（2）,,m n N m n *
∈≤ 即学即练:
1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷
2.已知101095m A =⨯⨯⨯L ，那么m =
3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( )
A ．5079k k A --
B ．2979k A -
C ．3079k A -
D ．3050k A -
例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。

此时在排列数公式中， m = n
全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=L （叫做n 的阶乘）.
即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4
4A （3）)!1(-⋅n n
排列数公式的另一种形式：
)!
(!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .
例2．求证：m n m n m n A mA A 11+-=+．
解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解：
左边=
右边）！
）！！）（（！）！（！==+-+=+-⋅++=+-⋅+-+m
1n A 1()!1(1(n!m n 1m -n )!1m n n m m n n m n n m n 点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。

变式训练：已知89557=-n
n n A A A ，求n 的值。

（n =15） 1．若!3!
n x =，则x = （ ） ()A 3n
A ()
B 3n n A - ()
C 3n A ()
D 33n A - 2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）
()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7
3． 已知256n A =，那么n = ；
4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1
列火车）？
1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷
2.已知101095m A =⨯⨯⨯L ，那么m =
3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( )
A ．5079k k A --
B ．2979k A -
C ．3079k A -
D ．3050k A -
例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

1．若!3!
n x =，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -
2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）
()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7
3． 已知256n A =，那么n = ；
4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1
列火车）？
1．下列各式中与排列数m
n A 相等的是（ ） （A ）!(1)!
-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A -- 2．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（ ）
（A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）8
34n A -
3．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（ ） （A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）8
4.已知25-n 2n A 6A =，则n= 。

5.计算=-+59
884858A A A 7A 2 。

6．解不等式：2＜42A A 1n 1
n 1n
1n ≤--++ 1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
（A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个
2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方
法共有（ ）
（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种
3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不
同排法共有（ ）
（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种
4．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多
少场比赛？
解：
(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方
案共有（ ）
（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）4
4A 种
例4、三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
点评：
1）若要求某n 个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的
元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。

2）若要求某n 个元素间隔，常采用“插空法”。

所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限
制元素插人到允许的位置上．
变式训练：
1、6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．
2．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．
1．由0，l ，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）
（A ） l ：l （B ）2：3 （C ） 12：13 （D ） 21：23
2．由0，l ，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A ）
42031 （B ）42103 （C ）42130 （D ）43021
3．若直线方程AX 十By=0的系数A 、B 可以从o ， 1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表
示的直线条数是 （ ）
（A ）25A 一2 B ）25A （C ）25A +2 （D ）25A －215A
4．从a ，b ，c ，d ，e 这五个元素中任取四个排成一列，b 不排在第二的不同排法有 （）
A 3514A A
B 2313A A
C 45A
D 3
414A A
5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 24 种不
同的种植方法。

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 166320种。

7、某产品的加工需要经过5道工序，
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？
（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？
1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 （ ）
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．16种
2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有 （ ）
A ．3种
B ．6种
C ．1种
D ．27种
3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为 （ ）
A ．5079k k A --
B ．2979k A -
C ．3079k A -
D ．3050k A - 4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 （ ）
A ．24种
B ．72种
C ．96种
D ．120种
5.4·５·6·7·…·(n-1)·ｎ等于 （ ）
A.4-n n
A B.3-n n A C.ｎ！－4！ D.!4!n 6.21+n A 与3
n A 的大小关系是 （ ）
A.321n n A A 〉+
B.321n n A A 〈+
C.321n n A A =+
D.大小关系不定
7．给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少中不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）。

8．若{|,||4}x x Z x ∈∈< ，{|,||5}y y y Z y ∈∈<，则以(,)x y 为坐标的点共有 个。

9.若x =!
3!n ,则x 用m n A 的形式表示为x = . 10.(1)=m n A 11--m n A ；（2）=m n A 1-m n A
11．（1）已知101095m A =⨯⨯⨯L ，那么m = ；（2）已知9!362880=，那么79A = ；（3）已
知256n A =，那么n = ；（4）已知2247n n A A -=，那么n = ．
12．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不
同的方法？
13．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？
14．计算：（1）325454A A + （2）12344444A A A A +++
16．求证： 11m m m n n n A mA A -++=；
17.计算：①55
666657A A A A +- ②5699610239!A A A +- 18．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？
排列与排列数作业(2)
1．与37
107A A ⋅不等的是 （ ）
()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A
2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7
3.100×99×98×…×89等于 （ ）
A.10100A
B.11100A
C.12100A
D.13100A 4.已知2n A ＝132，则n 等于 （ ）
A.11
B.12
C.13
D.以上都不对
5．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的
数字均不相同的填法多少种？（ ）
A ． 6
B ． 9
C ． 11
D ． 23
6．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条
轨道上，则五列火车的停车方法有多少种 （ ）
A ．78
B ．72
C ．120
D ．96
7．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍的共有多少个 （ ）
A ．9
B ．21
C ． 24
D ．42
8．从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有多少条？（ ）
A ． 14
B ．30
C ． 70
D ．60
9.把3张电影票分给10人中的3人，分法种数为（ ）
A.2160
B.240
C.720
D.120
10.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数（ ）
A. A 44
B.44A 21
C.A 55
D. 55A 2
1 11．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进
行实验，有 种不同的种植方法。

12．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种。

13．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字的正整数.
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字，并且比13000大的正整数？
14．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有 种不同的排法？
15．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有 种排列加工顺序的方法.（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有 种排列加顺序的方法.
16．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有 种不同的排法？
17.求证：12311231231n n n n A A A A A n +++++=-+L。