最新函数单调性与导数教案
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3.3.1函数的单调性与导数
【教学目标】
知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
过程与方法:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思
想、转化思想。
情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】
教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点:探索函数的单调性与导的关系。 【教学过程】
一.回顾与思考
1、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断y=x 2的单调性,如何进行?(分别用定义法、图像法完成)
2、如果遇到函数:y=x 3-3x 判断单调性呢?还有其他方法吗? 二.新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【思考】 如图(1),它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像.运动员从起跳到最
高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
【引导】 随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大
还是逐步减小?
【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函
数.相应地,'()()0v t h t =>.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减函数.相应地,'()()0v t h t =<.
【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.
【探究】观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
(1)函数y x =的定义域为 ,并且在定义域上是 函数,其导数 ; (2)函数2y x =的定义域为 ,在(,0)-∞上
单调 ,在(0,)+∞上单调 ;
而2()2y x x ''==,当0x <时,其导数 ;当0x >时,其导数 ;当0x =时,其导数 。
(3)函数3y x =的定义域为 ,在定义域上为 函数; 而32()3y x x ''==,若0x ≠,则其导数 ,当0x =时,其导数 ; (4)函数1
y x
=
的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,在(,0)-∞上单调 ,在(0,)+∞上单调 而211
()y x x
''==-,因为0x ≠,显然0y '<.
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间(,)a b 内,如果函数
()y f x =在这个区间内单调递增,那么 ;如果函数()y f x =在这个区间内单调
递减,那么 .
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系? 【探究】如图,导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率.
在0x x =处,'0()0f x >,切线是“ ”式的,这时,函数()f x 在0x 附近单调 ;
在1x x =处,'0()0f x <,切线是“ ”式的,这时,函数()f x 在1x 附近单调 . 知识归纳
函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内,
如果'()0f x >,那么函数()y f x =在这个区间内 ; 如果'()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内
特别的,如果'()0f x =,那么函数()y f x =在这个区间内是 . 三.知识应用
例1.判断函数33y x x =-的单调性
四.课堂练习
1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间
2.求证:函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数。 五.小结
求解函数()y f x =单调区间的步骤: (1)确定函数()y f x =的定义域;
(2)求导数''()y f x =;
(3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间. 六、作业设计
课本98页,A 组1,2
()()()()()()()()().
124324;,0,sin 3;322;31:
,22323+-+=∈-=--=+=x x x x f x x x x f x x x f x x x f π并求出单调区间判断下列函数的单调性例2(1)()24f x x x =-+(2)()x f x e x
=-3(3)()3f x x x =-32(4)()f x x x x
=--