牛顿插值
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f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
将L1(x)改写成
N1 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
显然，N1(x)就是1次Lagrange插值多项式L1(x).
当n=2时，进而记
f ( x2 ) f ( x1 ) f [ x1 , x2 ] , x2 x1 f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] , x2 x0
f x x,,x x x x (( f [x x,,x x ]] f [ x0 , x1 ] f ,,x xx x1 )1 ) (b) 00 00 11
x f ( x) f ( x0 ) f f x,, x x00( (x x x x0 ) (a ) 0)
抵消
( x x0 )
由此知，均差具有对称性,即在k阶均差中
k
任意交换两个节点 x i 和x j 的次序,其值不变。 例如
f x0 , x1 f x1 , x0
f[x0 , x1]=
(1)
f(x1)- f(x0)
x1 – x0
f x0 , x1 , x2 f x1 , x2 , x0 f x0 , x2 , x1
xi f [xi] f [xi,xi+1] f [xi,xi+1, xi+2] f [xi,xi+1, xi+2 ,xi+３] f [xi,xi+1, xi+2 ,xi+３, xi+4]
0 2 3
0 8 27
80 4 20
27 8 19 32
19 4 5 30
5 6
125 216
f(x0)- f(x1) f[x1 , x0] = x0 – x1
性质2
n阶差商 f x0 , x1,, xn 和n阶导数之间有下 列关系
f ( n ) ( ) f x0 , x1 ,, xn , (min x i , max x i ) (2.18) 0i n 0 i n n!
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
2 1
,
f [ x1 , x2 ] f ( x ) f ( x ) ,
x2 x1
xk
f ( xk )
f ( xk ) f ( xk 1 ) xk xk 1
,
（2）由函数y=f(x)的一阶均差，再作一次均差，即
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 ]
f [ xk 1 , xk ] f [ xk 2 , xk 1 , xk ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
xk
f ( xk )
f [ x0 , x1 ,, xk ]
均差f [xi , xj , xk]是指 f[xj , xk]- f[xi , xj ] f[xi , xj , xk]= x k- x i
（2.16）
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如： f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
125 27 49 49 19 10 53 52 91 49 216 125 14 91 63 65
10 5 1 50 14 10 1 11 0 62 60
2. 均差的性质 性质1
f ( xi ) f x0 , x1 ,, xk 1 ( xi ) i 0 k
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
x x 其中 l k ( x ) x xj ( k 0, 1,...n) j j 0 k
jk
考虑pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +…+an n(x) (ai 为常数或待定常数) 问题：能否在上述插值多项式中
差分表
例2.9
2.4.3 差分和等距节点牛顿插值公式
差分的性质
Newton向前差分插值公式 Newton向后插值公式
例2.10-11
2.4.1 均差及其性质 当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点
( x0 , f ( x0 ),( x1 , f ( x1 )) 的直线方程为
若记
f ( x1 ) f ( x0 ) L1 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) x1 x0
回到问题2----如何构造P ( x)？ 基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0(x), 1(x),…, n (x),使 Pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +…+an n(x) (ai 为常数或待定常数) 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值
区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶均差为
f [ xi 1 , xi 2 ,..., xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n 1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] xi n xi
（2.17）
例2.6 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶均差值 解: 计算得如下表
称为函数y=
f ( x)
在 x0 , x1 ,, xk 点的k阶均差（k阶差商）。
均差表
xi x0
f ( xi )
(0 阶均差) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 k 阶均差
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ]
f [ xi , x j , xk ]
称为y = f ( x ) 在点 xi , x j , xk
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
的二阶均差（二阶差商）；
（3）由函数y=f(x)的k 阶均差表可定义函数的n阶均差
f [ x1 , x2 , xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] (2.15) xk x0
f x, x00,, x x00,,x x11, x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c) ( x x0 )( x x1 ) x11 ffx
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn f [ x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数.
2.4 Newton 插值多项式
均差（差商）的定义、均差表、 例2.6
2.4.1 均差及其性质 均差（差商）的性质 2.4.2 牛顿插值公式
表达式推导 例2.7 余项
Newton 插 值 多 项 式
小结：拉格朗日型插值与牛顿型插值的比较
差分的定义
例2.8
f [ x , x0 , , x n ]
f x , x0
f ( x ) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f x, x0 ( x x0 ) (a)
，
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn x xn f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn f [ x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
,
f ( xn ) f ( xn 1 ) xn xn 1
.
即有以下一阶均差(差商)的定义：
定义2.4.1
(1) 函数 y= f (x) 在区间[xi , xj]上的平均变化率
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
称为f (x)关于xi , xj 的一阶均差(一阶差商), 并记为 f [xi ,xj].
类似地，构造次数不超过2次的多项式N2(x)
N2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )
容易检验，这样的N2(x)满足插值条件
N2 ( x0 ) f ( x0 ), N2 ( x1 ) f ( x1 ), N2 ( x2 ) f ( x2 )
即 f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
函数y=f(x)的一阶均差表
x0
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ] f [ x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ xk 1 , xk ]
假设基函数(已知)为 : 1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ),, ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
令
pn ( x) Nn ( x) a0 a 1( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
( xi x j ,当i j )
则在 上平均变化率分别为： f ( x ) x0 , x1 , x1 , x2 ,, xn1 , xn
定义为f(x) 的一阶均差
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 ,
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 ,
这个性质可直接用罗尔（Rolle）定理证明。
2.4.2 牛顿插值公式
已知 y f ( x) 函数表,
x f ( x) x0 f ( x0 ) x1 xn f ( x1 )
( xi x j ,
f ( x n ) 当i j )
由差商定义及对称性，得
x x0 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f x, x0 , x1 x x1 f [ x, x ] f [ x , x ] f x, x , x ( x x ) (b) 0 0 1 0 1 1 f x , x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 f x, x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c)
且
N2 ( x) N1 ( x) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) L2 ( x)
1.均差（差商的定义）/ dividLeabharlann Baidud difference /
已知y= f ( x ) 函数表
x f ( x) x0 f ( x0 ) x1 xn f ( xn ) f ( x1 )
( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
将(b)式两边同乘以,( x x0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x x0 )( x x1 )， (d)式两边同乘以 ( x x0 )( x x1 )( x xn1 ) ,把所有式子相加,得 f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f x0 , x1 ,, xn ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )( x xn )
将L1(x)改写成
N1 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
显然，N1(x)就是1次Lagrange插值多项式L1(x).
当n=2时，进而记
f ( x2 ) f ( x1 ) f [ x1 , x2 ] , x2 x1 f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] , x2 x0
f x x,,x x x x (( f [x x,,x x ]] f [ x0 , x1 ] f ,,x xx x1 )1 ) (b) 00 00 11
x f ( x) f ( x0 ) f f x,, x x00( (x x x x0 ) (a ) 0)
抵消
( x x0 )
由此知，均差具有对称性,即在k阶均差中
k
任意交换两个节点 x i 和x j 的次序,其值不变。 例如
f x0 , x1 f x1 , x0
f[x0 , x1]=
(1)
f(x1)- f(x0)
x1 – x0
f x0 , x1 , x2 f x1 , x2 , x0 f x0 , x2 , x1
xi f [xi] f [xi,xi+1] f [xi,xi+1, xi+2] f [xi,xi+1, xi+2 ,xi+３] f [xi,xi+1, xi+2 ,xi+３, xi+4]
0 2 3
0 8 27
80 4 20
27 8 19 32
19 4 5 30
5 6
125 216
f(x0)- f(x1) f[x1 , x0] = x0 – x1
性质2
n阶差商 f x0 , x1,, xn 和n阶导数之间有下 列关系
f ( n ) ( ) f x0 , x1 ,, xn , (min x i , max x i ) (2.18) 0i n 0 i n n!
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
2 1
,
f [ x1 , x2 ] f ( x ) f ( x ) ,
x2 x1
xk
f ( xk )
f ( xk ) f ( xk 1 ) xk xk 1
,
（2）由函数y=f(x)的一阶均差，再作一次均差，即
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 , x 4 ]
f [ xk 1 , xk ] f [ xk 2 , xk 1 , xk ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
xk
f ( xk )
f [ x0 , x1 ,, xk ]
均差f [xi , xj , xk]是指 f[xj , xk]- f[xi , xj ] f[xi , xj , xk]= x k- x i
（2.16）
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如： f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
125 27 49 49 19 10 53 52 91 49 216 125 14 91 63 65
10 5 1 50 14 10 1 11 0 62 60
2. 均差的性质 性质1
f ( xi ) f x0 , x1 ,, xk 1 ( xi ) i 0 k
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
x x 其中 l k ( x ) x xj ( k 0, 1,...n) j j 0 k
jk
考虑pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +…+an n(x) (ai 为常数或待定常数) 问题：能否在上述插值多项式中
差分表
例2.9
2.4.3 差分和等距节点牛顿插值公式
差分的性质
Newton向前差分插值公式 Newton向后插值公式
例2.10-11
2.4.1 均差及其性质 当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点
( x0 , f ( x0 ),( x1 , f ( x1 )) 的直线方程为
若记
f ( x1 ) f ( x0 ) L1 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) x1 x0
回到问题2----如何构造P ( x)？ 基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0(x), 1(x),…, n (x),使 Pn(x)=a0 0(x) +a1 1(x) +…+an n(x) (ai 为常数或待定常数) 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值
区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶均差为
f [ xi 1 , xi 2 ,..., xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n 1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] xi n xi
（2.17）
例2.6 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶均差值 解: 计算得如下表
称为函数y=
f ( x)
在 x0 , x1 ,, xk 点的k阶均差（k阶差商）。
均差表
xi x0
f ( xi )
(0 阶均差) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 k 阶均差
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ]
f [ xi , x j , xk ]
称为y = f ( x ) 在点 xi , x j , xk
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
的二阶均差（二阶差商）；
（3）由函数y=f(x)的k 阶均差表可定义函数的n阶均差
f [ x1 , x2 , xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] (2.15) xk x0
f x, x00,, x x00,,x x11, x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c) ( x x0 )( x x1 ) x11 ffx
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn f [ x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数.
2.4 Newton 插值多项式
均差（差商）的定义、均差表、 例2.6
2.4.1 均差及其性质 均差（差商）的性质 2.4.2 牛顿插值公式
表达式推导 例2.7 余项
Newton 插 值 多 项 式
小结：拉格朗日型插值与牛顿型插值的比较
差分的定义
例2.8
f [ x , x0 , , x n ]
f x , x0
f ( x ) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f x, x0 ( x x0 ) (a)
，
f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn x xn f x, x0 ,, xn1 f x0 , x1 ,, xn f [ x, x0 ,, xn ]( x xn ) (d )
,
f ( xn ) f ( xn 1 ) xn xn 1
.
即有以下一阶均差(差商)的定义：
定义2.4.1
(1) 函数 y= f (x) 在区间[xi , xj]上的平均变化率
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
称为f (x)关于xi , xj 的一阶均差(一阶差商), 并记为 f [xi ,xj].
类似地，构造次数不超过2次的多项式N2(x)
N2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )
容易检验，这样的N2(x)满足插值条件
N2 ( x0 ) f ( x0 ), N2 ( x1 ) f ( x1 ), N2 ( x2 ) f ( x2 )
即 f [ xi , x j ] f ( x j ) f ( xi ) x j xi
函数y=f(x)的一阶均差表
x0
f ( x0 )
x1 x2 x3 x4
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
f [ x0 , x1 ] f [ x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ] f [ xk 1 , xk ]
假设基函数(已知)为 : 1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ),, ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
令
pn ( x) Nn ( x) a0 a 1( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
( xi x j ,当i j )
则在 上平均变化率分别为： f ( x ) x0 , x1 , x1 , x2 ,, xn1 , xn
定义为f(x) 的一阶均差
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 ,
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 ,
这个性质可直接用罗尔（Rolle）定理证明。
2.4.2 牛顿插值公式
已知 y f ( x) 函数表,
x f ( x) x0 f ( x0 ) x1 xn f ( x1 )
( xi x j ,
f ( x n ) 当i j )
由差商定义及对称性，得
x x0 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f x, x0 , x1 x x1 f [ x, x ] f [ x , x ] f x, x , x ( x x ) (b) 0 0 1 0 1 1 f x , x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 f x, x0 , x1 f x0 , x1 , x2 f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 ) (c)
且
N2 ( x) N1 ( x) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) L2 ( x)
1.均差（差商的定义）/ dividLeabharlann Baidud difference /
已知y= f ( x ) 函数表
x f ( x) x0 f ( x0 ) x1 xn f ( xn ) f ( x1 )
( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
将(b)式两边同乘以,( x x0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x x0 )( x x1 )， (d)式两边同乘以 ( x x0 )( x x1 )( x xn1 ) ,把所有式子相加,得 f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f x0 , x1 ,, xn ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )( x xn )