高一下学期数学期末复习大串讲(新人教A版必修2)专题01 立体几何初步

一立体几何初步
【知识网络】
第一章空间几何体的结构、三视图和直观图专题一空间几何体的结构特征
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体旋转图形旋转轴
圆柱矩形任一边所在的直线
圆锥直角三角形任一直角边所在的直线
圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线
球半圆直径所在的直线
【典例1】给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是________．
【答案】②③④
【思维升华】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
【迁移训练1】(1)以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为________．
【答案】 (1)B (2)①②③
专题二简单几何体的三视图
1、三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
2、三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
【典例2】【2016·合肥质检】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．12＋4 2 B．18＋8 2
C．28 D．20＋8 2
【答案】D
【迁移训练2】【2016·全国3卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90 D．81
【答案】B
【解析】由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.
专题三空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
【典例3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
【迁移训练3】如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
【答案】 C
第二章空间几何体的表面积与体积
专题一求空间几何体的表面积
1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台侧面展开图
侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
【典例1】(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋ 3 B．2＋ 3
C．1＋2 2 D．2 2
【答案】 B
【迁移训练1】(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．
【答案】26
专题二求空间几何体的体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆
柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh
锥体(棱锥和圆
锥) S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13
Sh
台体(棱台和圆
台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝13
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S ＝4πR 2
V ＝43
πR 3
【典例2】(2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，
B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.则三棱锥P －AB
C 体积的最大值为________．
【答案】 13
【解析】 V P －ABC ＝1
3PO ·S △ABC ，当△ABC 的面积最大时，三棱锥P －ABC 体积达到最大值．当CO ⊥AB 时，△ABC 的面积最大，最大值为12×2×1＝1，此时V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝1
3.
【迁移训练2】正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥
A －
B 1D
C 1的体积为( )
A ．3 B.32 C ．1 D.3
2
专题三 与球有关的切、接问题
【典例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，
AA 1＝12，则球O 的半径为( )
A.3172 B ．210 C.132 D ．310
【答案】 C
【解析】 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，
则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝5
2，
OM ＝1
2AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝13
2.
【迁移训练3】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 【答案】 A
第三章 空间点、线、面之间的位置关系
专题一 平面基本性质的应用
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【典例1】如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证： (1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．
【思维升华】 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据．
【迁移训练1】 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝1
2AF ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
专题二 判断空间两直线的位置关系
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨
⎪⎧
平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
【典例2】(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________． ①l 与l 1，l 2都不相交； ②l 与l 1，l 2都相交；
③l 至多与l 1，l 2中的一条相交； ④l 至少与l 1，l 2中的一条相交．
(2)图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
【答案】 (1)④ (2)④
【解析】(1)若l 与l 1，l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，∴l 1∥l 2，这与l 1和l 2异面矛盾，∴l 至少与l 1，l 2中的一条相交． (2)图①中，直线GH ∥MN ；
图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，
因此直线GH 与MN 异面；
图③中，连结MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ， 因此GH 与MN 异面． 所以图②④中GH 与MN 异面．
【思维升华】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
【迁移训练2】 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、
BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，
①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________． 【答案】 ②③④
专题三 求两条异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．
②范围：⎝
⎛⎦
⎤0，π2.
【典例3】 (1)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为___________________________________．
【答案】 60°
(2)空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．
【解析】如图，取AC 的中点G ，连结EG 、FG ，
则E ∥G 12AB ，FG 綊1
2CD ，
由AB ＝CD 知EG ＝FG ，
∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为30°，
∴∠EGF ＝30°或150°.
由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°. 【思维升华】
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
【迁移训练3】 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为________．
【解析】画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD 的中点F ，连结EF ，
因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，
所以cos∠FEC ＝EO CE ＝1
2
3＝3
6.
第四章 直线、平面平行的判定与性质
专题一 直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，
a ∥
b a ∥α
a ∥α，a ⊂β，α∩β＝
b 结论
a ∥α
b ∥α
a ∩α＝∅
a ∥b
【典例1】 （1）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1
2
AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，
PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．
(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD .
(2)连结FH ，OH ，
∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
（2）(2014·安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
【解析】(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB ＝14DB ＝1
2OB ，即K 为OB 的中点．
再由PO ∥GK 得GK ＝1
2PO ，
即G 是PB 的中点，且GH ＝1
2BC ＝4.
由已知可得OB ＝42，
PO ＝PB2－OB2＝68－32＝6，
所以GK ＝3.
故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF
2·GK
＝
4＋8
2
×3＝18. 【思维升华】 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，
a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
【迁移训练1】 (1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，
求证：CE ∥平面PAB ；
(2)如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．
又∵E为PD的中点，∴EC∥PN，
∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB
.
专题二平面与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ
＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α
【典例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
【思维升华】证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
【迁移训练2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【证明】(1)如图，连结SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连结SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
专题三平行关系的综合应用
【典例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？
设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．
又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝b
a
(a －
x )，
∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α
＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝bsin α
a x (a －x )．
∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，
∴当且仅当x ＝a －x 时，bsin αa x (a －x )＝absin α4，
此时x ＝a 2，y ＝b
2
.
即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 【思维升华】
利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
【迁移训练3】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝
6
3
a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .
【解析】如图所示，
在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，
∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG . 又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点．
∴x ＝a ，即PA ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝ 错误!＝错误!a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .
即AF ＝2
3
AB .
故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．
第五章 直线、平面垂直的判定与性质
专题一 直线与平面垂直的判定与性质
图形 条件 结论
判 定
a ⊥
b ，b ⊂α(b 为α内的任意一条直线)
a ⊥α
a ⊥m ，a ⊥n ，m 、n ⊂α，m ∩n ＝O
a ⊥α
a ∥
b ，a ⊥α
b ⊥α
性 质
a ⊥α，
b ⊂α
a ⊥b
a ⊥α，
b ⊥α
a ∥b
【典例1】 (2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC
＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．
(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 【解析】
(1)证明：由已知得 △ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .
又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .
同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又因E ，F 分别为AC ，DC 的中点， 所以EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .
(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图
【思维升华】 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，
a ⊥α⇒
b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
【迁移训练1】 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝1
3DB ，点C
为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .
求证：PA⊥CD.
【证明】因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
在Rt△ABC 中，由3
AC＝BC得，
∠ABC＝30°，设AD＝1，
由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝23，
由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.
专题二平面与平面垂直的判定与性质
文字语言图形语言符号语言
判定定理如果一个平面经过另一个平面
的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊂β
l⊥α
⇒α⊥β
性质定理如果两个平面互相垂直，那么在
一个平面内垂直于它们交线的
直线垂直于另一个平面
⎭⎪
⎬
⎪⎫
α⊥β
α∩β＝a
l⊂β
l⊥a
⇒l⊥α
【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD 沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
【求证】(1)CD⊥平面PBD.
(2)平面PBC⊥平面PDC.
(2)由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDC .
【思维升华】 面面垂直的性质应用技巧
(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．
【迁移训练2】 (2015·重庆)如图，三棱锥PABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π
2
，点D ，
E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点
F 在线段AB 上，且EF ∥BC .
(1)证明：AB ⊥平面PFE ；
(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．
(2)解 设BC ＝x ，则在Rt△ABC 中，
AB ＝AC2－BC2＝36－x2，
从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝1
2x 36－x2.
由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝2
3
，
得△AFE ∽△ABC ，故S△AFE S△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝4
9，
即S △AFE ＝4
9
S △ABC .
由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·4
9S △ABC
＝29S △ABC ＝1
9
x 36－x2. 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x2－19x 36－x2＝7
18x 36－x2. 由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高．
在Rt△PEC 中，PE ＝PC2－EC2＝42－22＝2 3. 体积V PDFBC ＝1
3·S DFBC ·PE
＝13·7
18
x 36－x2·23＝7， 故得x 4
－36x 2
＋243＝0，解得x 2
＝9或x 2
＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3. 专题三 线面角、二面角的求法
【典例3】如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A —PD —C 的正弦值．
在Rt△PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC .
又AE ⊂平面PAC ，所以AE ⊥CD .
由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .
(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连结AM ，如图所示．
由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD .
因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得
PA ＝a ，AD ＝
233a ，PD ＝213a ，AE ＝2
2
a .
【思维升华】求线面角、二面角的常用方法：
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；
②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
【迁移训练3】(2015·山东)如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．
【解析】
(1)证明
【方法一】如图，连结DG，CD，设CD∩GF＝O，连结OH，
在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．
则O为CD的中点，又H为BC的中点，
所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
(2) 解 如图，作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连结NH .
设AB ＝2，则CF ＝1.
由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ， 所以HM ⊥平面ACFD . 因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角． 在△BGC 中，HM ∥BG ，HM ＝12BG ＝2
2，
由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GM
GF ，
从而MN ＝
66
. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ， 得HM ⊥MN ，因此tan∠MNH ＝HM
MN
＝3， 所以∠MNH ＝60°，
所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.。