中考数学复习专题 分式方程及应用

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【解答】(1)D (2)C
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2x＋1 x (1)(2010· 眉山)解方程： ＋1＝ ； x x＋1 2x－2 x (2)(2010· 上海)解方程： － －1＝0. x x－1
【点拨】本组题考查分式方程的解法，一般步骤为：①去分母，转化为整式方程；②解 整式方程，得根；③验根．这三步缺一不可．
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考点三 列分式方程解应用题 1． 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样． 不同之处是列出的方程是分式方程． 求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要缺少了这一步. ．． 2．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题．(包括日历中的数字规律) ①设个位数字为 c，十位数字为 b，百位数字为 a，则这个三位数是 100a＋10b＋c； ②日历中前后两日差 1，上下两日差 7. (2)体积变化问题． (3)打折销售问题． ①利润＝售价－成本； 利润 ②利润率＝ ×100%. 成本 (4)行程问题． (5)教育储蓄问题． ①利息＝本金×利率×期数； ②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)； ③利息税＝利息×利息税率； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品
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考点训练 9 分式方程及应用
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训练时间：60分钟 分
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160 400－160 ＋ ＝18 x 1＋20%x 160 400 C. ＋ ＝18 x 20%x 400 400－160 D. ＋ ＝18 x 20%x B.
160 举 【解析】采用新技术后的工作效率为(1＋20%)x，前 160 套所用时间为 ，后来的(400 x 一 反 400－160 160 400－160 三 －160)套，所用时间为 ，可列方程为 ＋ ＝18. 1＋20%x x 1＋20%x
【解答】(1)方程两边同时乘以 x(x＋1)，约去分母，得 1 x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得 x＝－ . 2 1 经检验，x＝－ 是原方程的根． 2 1 所以，原方程的解为 x＝－ . 2 (2)方程两边同时乘以 x(x－1)，约去分母，得 x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0 1 解得 x＝ 或 x＝2. 2 1 经检验，x＝ 或 x＝2 都是原方程的根． 2 1 所以原方程的解为 x＝ 或 x＝2. 2
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当 x＝2 时，4－x2＝0，∴x＝2
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考 点 5． (2010· 益阳)货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同， 已知小车每小时比 知 识 货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程 精 正确的是( ) 讲 25 35 25 35 中 考 典 例 精 析
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第9讲
分式方程及应用
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
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考点一 分式方程及解法 1．分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― → 整式方程． ―
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【答案】B
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考 点 7 7．(2011 中考预测题)用换元法解方程 x2－2x＋ 2 ＝8，若设 x2－2x＝y，则原方程化 知 x －2x 识 为关于 y 的整式方程是( ) 精 A．y2＋8y－7＝0 讲 中 考 典 例 精 析
B．y2－8y－7＝0 C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0
2．关于 x 的方程
2x＋a ＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是 a<－1. x－1
3．解方程：
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2 3 ＝ . x－1 x＋1
x＝5
4．解方程： x＝ 5 3
3 x 1 － ＝ . 2x－4 x－2 2
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考 6．(2009 中考变式题)某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技 点 术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装 知 ) 识 多少套．在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为( 160 400 精 A. ＋ ＝18 讲 x 1＋20%x 中 考 典 例 精 析
3 1 1 1 【解析】 ＝ ，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，x＝－ ，经检验 x＝－ 是 2 2 x＋2 x＋1 原方程的根．
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【答案】B
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
1 1－x 2．(2009 中考变式题)以下是方程 － ＝1 去分母后的结果，其中正确的是( x 2x A．2－1－x＝1 B．2－1＋x＝1 C．2－1＋x＝2x D．2－1－x＝2x
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x－2 x 1．方程 ＝ 的解是( C ) x－4 x－6 A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3
D．x＝4
5．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投 放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情 况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
考点训练 9
分式方程及应用 分式方程及应用 训练时间：60分钟 分值：10 训练时间：60分钟 分值：100分
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一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
3 1 1．(2010· 重庆)方程 ＝ 的解为( x＋2 x＋1 4 1 A．x＝ B．x＝－ 5 2 C．x＝－2 D．无解 )
转化 去分母
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3．解分式方程的步骤 ①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根． 4．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程 时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最 简公分母中，使最简公分母为零的是增根，否则不是)．
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(2010· 重庆)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成．甲工程队单 独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含 a 的代数式表示) 可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元， 甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使 施工费不超过 64 万元？
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【答案】B
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8 2 4．(2009 中考变式题)解方程 的结果是( 2＝ 4－x 2－x A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝4 D．无解
)
8 2 中 【解析】 ，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2 2＝ 考 4－x 2－x 典 是原方程的增根，∴原方程无解． 例 精 析 【答案】D
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【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得 x＝－3. 经检验：x＝－3 是原方程的根． ∴分式方程的解为 x＝－3. (2)题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个 整式方程的根． mx＋1 ∵ ＝－1 有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当 x＝1 时，解得 m＝ x－1 －1.
＝ B. ＝ x x－20 x－20 x 25 35 25 35 C. ＝ D. ＝ x x＋20 x＋20 x A.
【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶 25 千米与小车行驶 35 25 35 千米所用的时间相同，得 ＝ . x x＋20
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【答案】C
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考点二 与增根有关的问题 1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 (1)是由分式方程化成的整式方程的根； (2)使最简公分母为零． 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代 入变形后的整式方程，求出参数的值．
7 【解析】由题意可得，y＋ ＝8，则 y2－8y＋7＝0. y
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【答案】D
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x＋1 x (1)(2010· 咸宁)分式方程 ＝ 的解为( ) x－3 x－1 A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 mx＋1 (2)(2009 中考变式题)若解分式方程 ＝－1 时产生增根，则 m 的值是( x－1 A．0 B．1 C．－1 D．±1 )
)
【解析】等号两边同乘以 2x，去分母后为 2－1＋x＝2x. 【答案】C
x a 3．(2011 中考预测题)已知方程 ＝3－ 有增根，则 a 的值为( x－5 x－5 A．5 B．－5 C．6 D．4 )
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【解析】原式去分母后得 x＝3(x－5)－a，把增根 x＝5 代入得 a＝－5.
【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值 是否是原方程的根以及是否符合题意．
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【解答】 (1)设乙单独做 x 天完成此项工程， 则甲单独做(x＋30)天完成此项工程， 由题意， 1 1 得 20( ＋ )＝1. x x＋30 整理，得 x2－10x－600＝0. 解得 x1＝30，x2＝－20. 经检验，x1＝30，x2＝－20 都是分式方程的解，但 x2＝－20 不符合题意，舍去． 当 x＝30 时，x＋30＝60. 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天、30 天． a (2)合作(20－ )天 3 a (3)由题意，得 1×a＋(1＋2.5)(20－ )≤64. 3 解得 a≥36. 即甲工程队至少单独施工 36 天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能 使施工费不超过 64 万元．