(新)高中数学椭圆离心率求法专题

关于椭圆离心率

、，如果椭设椭圆的左、右焦点分别为F F

12

圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知，则

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

解法3：利用三角函数有界性记

解法4：利用焦半径 由焦半径公式得

解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得

解法6：巧用图形的几何特性 由

，知点P 在以

为直径的圆上。

又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有

由此可得，）e [

2

2

1

演练

一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c e =，22

2

22221a

b a b a a

c a c e -=-===

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

2

2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为

2

1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为

12

。 5.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭

圆的离心率为=

e 2

2

。 6..已知)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆1

2222=+n y m x 的的离心率为23

7.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点

分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是

12⎫

⎪⎪

⎣⎭

8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=

e 2

2

。 9.P 是椭圆22a x +22

b

y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知

,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=

e 13-

10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若

75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为

3

6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2 12.设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1

且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2

1

。

13.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F

到直线AB 的距离等于21

∣AF∣，则椭圆的离心率是36。

14.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD

的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是

2

1

5- 15.已知直线L 过椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),

如果坐标原点到直线L 的距离为

2

a

，则椭圆的离心率是36

16.在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O

为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫

⎪⎝⎭

作圆的两切线互相垂直，则离心

率e =

2

17.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e 2

=，右焦点为(0)F c ，，

方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()

P x x ，（ A ）

Ａ．必在圆2

2

2x y +=内

Ｂ．必在圆22

2x y +=上 Ｃ．必在圆2

2

2x y +=外

Ｄ．以上三种情形都有可能

二、构造a c ，的齐次式，解出e

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

5

3 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是

13-

3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13- 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

P ，若△F 1PF 2

1 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是

3

3

6．设12F F 、分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P 是其右

（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭

圆的离心率是

2

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆

内部，则椭圆离心率的取值范围是 2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

9021=∠PF F ，

椭圆离心率e 的取值范围为⎪⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡1,22 3．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

6021=∠PF F ，