三维转动群的覆盖群

♠ 设 X 'u1X11 uu2X2 u 1 (u 2 1 u 1 )X X (u 2 1 u 1 )
u 21
u1
（u2-1u1）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即8
u 2 1 u 1 I u 1 u 2
u2、 u1为幺模矩阵：
d du u e e1 2 tt 1 1 du e2 tdu e1 t 1 1
外部球面上的点对应同一个元素（-1）
特点
➢SU(2)群的群空间是连通的；群中任一元素u都可以由
恒元出发，在群空间连续变化得到——简单李群
4
➢连通度——单连通 SO(3)群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按 跳跃次数的奇，偶分两组，双连通） SU(2)群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃 可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化， 消去跳跃，因此只有一组连线，单连通） ➢SU(2)群是紧致李群 （群空间是欧氏空间的闭空间） ➢相同ω的元素u(n^ ,ω)互相共轭，构成一类
对类积分，可将角度积掉
d sind4 0
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3. 紧致李群的表示理论
➢线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过 幺正的相似变换相联系
➢实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示 可通过实正交的相似变换相联系
➢可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件： 找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即
u(nˆ,4)1
R(nˆ,2)1
u(nˆ,2)1
R(n ˆ,)R(n ˆ,)
u ( n ˆ , ) u ( n ˆ ,4 ) u ( n ˆ ,2 )R (n ˆ, )R ( n ˆ,2 )
二、群空间
与SO(3)相比较，矢量→ω 的变化范围即为群空间：
半径为2π的球体
球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系
即 (dr)W(R)不依赖与群元素R ➢以→ω为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果
d(u ) 4 F 1 2 d 0 s id n 0 2 s2 i 2 F n ( )d :(,, )
参数 径向长度
SO(3)群径向参数ω变化范围缩小一半
d( R R ) 2 F 1 2 d 0 s id n 0 s2 i 2 F n ( )d
无迹矩阵与P点位置坐标→r 有一一对应关系，可验证
1 x a 2 Tr (X a )
3
det X
x
2 a
a 1
2. 同态关系的建立
♠设u∈SU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过u-1
的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵
6
X'uXu1 且有相同的行列式 detX'=detX
♠无迹矩阵X与→r ，则X’→与r’ 一一对应关系，即X’对 应空间另一点P’ ♠→r’ 的分量可以表示为→ r 的分量的线性齐次函数
SO(3)~SU(2)
9
说明
3
➢群元素对应关系 u(n ˆ, )bu(n ˆ, )1 aR(n ˆ, )ab a1
至此：SO(3)群空间：半径为π的球体
SU(2)
：
2π
半径为π的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应 SU(2)：π→2π间圆环所对应元素，等于半径为π的球体 内相应元素的负值
权函数
权函数： 1）群空间中，群元素R对应点的邻域 dr 体积内，元素的 相对密度 2）要求权函数Ｗ(R)单值，可积，不小于零，不发散，在 群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零 3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的
dR(FR)(dr)W(R)F(R)0 g1RG11dR(dr)W(R)1 F(R)≥0,但不恒等于零
三、SO(3)与SU(2)同态关系
1. 无迹厄米矩阵X ♠泡利矩阵：无迹，厄米，幺正
泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵 5
♠反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立 实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合 ♠现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即
X a3 1 axa r x1x 3 ix2 x1 x i3 x2
aj 10 2d si2n 2j( )* ( )
➢表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标 对应相等 X 1 D (R )X D (R ) (R ) (R )
表示不可约的充要条件：
dR|(R)|21
15
对SU(2)群，不等价不可约表示特征标的正交关系为
10 2d si2 n 2j( )*j( )ij
则 4个实数中只有3个是独立的
uh h0 2 iih h1 3 hh 02 ih ih 31,
3
hi21
i0
为了下面方便讨论，我们用实矢量→ω 的球坐标ω,θ,φ来
代替上面实参数hi（3个独立的量）
2
其中，→ω 的长度是ω,方向沿n^ (θ,φ)方向
nˆ(,)
h0
cos, 2
h1
si
n coscos 2
各相似变换之间差一个+_1因此，即所有相似变换矩阵为 +_u ♠ 将X、X’按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则
3
ubu1 aRab
a1
将u(n^,ω)具体表达式代入，通过直接计算 可得R矩阵（正是前面给出的形式）
给出了SO(3)群一个元素R与SU(2)群一对元素+_u间的对 应关系
容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即
只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到 了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示
四、群上的积分
1. 积分概念 有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成 群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分
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g 1R G F (G ) dR (R ) F(d)W r(R )F (R )
a* ac* cb* bd* d a db c1
a* bc* d0
1
ad*b,c*|,c|2|d|21 da*c,b*|,a|2|b|21
u d c * d c* u a b*a b * 将复数c，d用4个实数表示出来，取
d
c
Hale Waihona Puke Baidu
h h
0 2
ih 3 ih1
|c |2 |d |2 1 h 0 2 h 1 2 h 2 2 h 3 2 1
A X X A X I
➢不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满足正交关系
dR i (D R)*D j (R)m 1jij
d R i(R )*j(R )ij
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➢任何表示都可按不可约表示展开
X1D(R)X j ajDj(R)
(R) ajj(R)
j
ajd R j(R )*(R )
对特征标的积分，可化为类上的积分，如 SU(2)群：
2 2
u(n ˆ, ) u( n ˆ,2 )
这一对+_u对应SO(3)群同一元素 10
➢群SO(3) 双连通，SU(2) 单连通，则SU(2)是SO(3)的覆 盖群，同态对应关系 2：1 ➢SO(3) 群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群 的真实表示；（D(SO3)≈SO3~SU2）
SU(2)群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示，通常 称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关
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♠ 将X→X’，对应点变化 P→P’，位置矢→量→r→r’ 的 变换 ♠ 反之，若R∈R∈SOS(O3()3),它将→r→→r’,对应点变化 P→P’， 则X→X’；因为X是无迹厄米矩阵，且detX’=detX，所 以X与X’必将通过幺模幺正相似变换u∈SU(2)相联系， 即前面的 X’=uXu-1，但这样的矩阵不唯一
群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分 12
2. 群上积分的特点
➢显然是线性运算 d [ a 1 R ( R ) F b 2 ( R ) F a ]d 1 ( R R ) b d F F 2 ( R R )
➢希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群
元素都保持不变 d ( R ) R d ( S F R ) d R ( F R R ) ( d S ) W F ( R r ) F ( R )
h3
sincos, 2
h2
sinsinsi 2
n
u(n ˆ, )1co si( n ˆ)si n
2
2
其中引入矢量→σ代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米
T a 0 r , a a a a 1 , a a , a 2 1
矢量
eaa
满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘
a
n ˆa3 1anan1n 3in2
3.3 三维转动群的覆盖群SU(2)
一、二维幺模幺正矩阵群SU(2)
二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合， 按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记 作SU(2)群
1. 群元素 对于群中任意元素u，它的矩阵元素满足
a b
a ba b
u c d S(U 2) ,c d c d I
n1 ni3 n2( U ) V ( U V ) a b a c b a U c b V c
( a ) ( b ) 1 ( a b ) i ( a b )3
由上面式子可以证明
SO(3)群
u ( n ˆ , 1 ) u ( n ˆ , 2 ) u ( n ˆ , 1 2 )R ( n ˆ , 1 ) R ( n ˆ , 2 ) R ( n ˆ , 1 2 )
当 i=j 时，上式便成为不可约表示的充要条件
➢自共轭的不可约幺正表示与其复共轭表示的相似变换矩 阵只能是对称或反对称的
相似变换矩阵对实表示是对称的 非实 反对称
若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X，则称为自共轭表示
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xa' Rabxb
b
deXt'deXt
deXta3 1xa2 R 矩 阵 是 实d正 et 交 R 1（ 矩保 阵证 两 点） 间
因此 R∈O(3) ♠ 显然 u取恒元时，X’=uXu-1相当于无变换，→则r→与r’ 重合，即R是恒元
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♠ u可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到，对应R也可 由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒 元的一个连续片内），即R∈SO(3)