包络定理
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
f ( x , a ) d xi (a ) xi da
f ( x, a ) a
]
i 1
x x(a )
由于 x (a) 是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立
f ( x, a ) xi x x(a ) 0 i 1, 2 , , n
因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。
d (a ) da f ( x, a ) a x x*
2
包络定理图示
d (a ) f ( x , a )
*
, f
da
a
(a )
f ( x, a )
a1
a
3
包络定理的一个推论
对于一个具有一般性的最优化问题
max
x
f ( x, a )
s .t . g ( x , a ) 0
我们可以使用 d ( a ) d a
由于先得到 x*(a) 非常麻烦，我们可以直接使用包络定理
d (a ) da f ( x, a ) a x x*
1
包络定理的证明
记对应参数值 a 的最大值点为 x (a)，假设它关于 a 可 微，则有
d (a ) da d f [ x ( a ), a ] da [
x 是 n 维向量， a 是 m 维参数。包络定理可以写为：
(a ) ai L ( x, a; ) ai x
*
( i 1, 2 , , m )
含义：某参数对目标函数最大值（最大值函数）的影响，
等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解 处取值。
4
包络定理的一个推论（证明）
6
包络定理的应用之一：消费者选择理论
对于消费者选择问题
max u ( x 1 , x 2 )
x
s .t . p 1 x 1 p 2 x 2 m
我们容易得到马歇尔需求函数
x1 x1 ( p 1 , p 2 , m ) x 2 x 2 ( p1 , p 2 , m )
此时的效用函数值（间接效用函数）：
f ai
j
g x j
x j ai
f ai
对于约束条件
g ( x, a ) 0
两边关于 ai 求导，可得
代入上式
(a ) ai f ai
j
g x j
x j ai
g ai
0
g ai
L ( x, a; ) ai
x* x ( a )
v ( p 1 , p 2 , m ) u ( x1 , x1 ) u ( x1 ( p 1 , p 2 , m ), x 2 ( p 1 , p 2 , m ))
* *
构造函数
L ( x , p , m ; ) u ( x1 , x 2 ) ( m p 1 x1 p 2 x 2 )
包络定理（envelope theorem）
包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题
( a ) max f ( x , a )
x
这里，a 是一个参数（外生变量），x 是一向量，我们称φ(a) 为间接目标函数。该最大值问题是在 a 为某一固定值时寻找 适当的 x*，使得函数 f(x, a) 达到最大。显然，若 a 的数值发 生变化时，x* 和目标函数的最大值 f(x*, a) 也会随之而变化。 判断 a 的数值变化时 φ(a)= f[x*(a), a] 变化的大小和方向，
我Baidu Nhomakorabea构造拉格朗日函数
L ( x, a; ) f ( x, a ) g ( x, a )
一阶条件为
L ( x, a; ) x j L ( x, a; ) f x j g x j 0 ( j 1, 2 , , n )
g ( x, a ) 0
利用包络定理，可得
v ( p , m ) m
罗伊恒等式（Roy’s identity）
x1 x1 ( p 1 , p 2 , m )
v ( p1 , p 2 , m ) / p1 v ( p1 , p 2 , m ) / m
7
包络定理的应用之二：成本曲线问题
对于短期成本最小化问题 我们容易得到最优的可变要素投入
x x(a )
*
如果我们得到最优解 则最大值函数
( a ) f ( x ( a ), a )
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数
( a ) f ( x ( a ), a )
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a ) ai
j
f x j
x j ai
L L (w, r; Q )
*
min ( wL r K ) / Q s .t . f ( L , K ) Q
C
K1
K2
LAC (Q )
Q
8
f ( x , a ) d xi (a ) xi da
f ( x, a ) a
]
i 1
x x(a )
由于 x (a) 是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立
f ( x, a ) xi x x(a ) 0 i 1, 2 , , n
因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。
d (a ) da f ( x, a ) a x x*
2
包络定理图示
d (a ) f ( x , a )
*
, f
da
a
(a )
f ( x, a )
a1
a
3
包络定理的一个推论
对于一个具有一般性的最优化问题
max
x
f ( x, a )
s .t . g ( x , a ) 0
我们可以使用 d ( a ) d a
由于先得到 x*(a) 非常麻烦，我们可以直接使用包络定理
d (a ) da f ( x, a ) a x x*
1
包络定理的证明
记对应参数值 a 的最大值点为 x (a)，假设它关于 a 可 微，则有
d (a ) da d f [ x ( a ), a ] da [
x 是 n 维向量， a 是 m 维参数。包络定理可以写为：
(a ) ai L ( x, a; ) ai x
*
( i 1, 2 , , m )
含义：某参数对目标函数最大值（最大值函数）的影响，
等于拉格朗日函数直接对该参数求偏导数，并在最优解 处取值。
4
包络定理的一个推论（证明）
6
包络定理的应用之一：消费者选择理论
对于消费者选择问题
max u ( x 1 , x 2 )
x
s .t . p 1 x 1 p 2 x 2 m
我们容易得到马歇尔需求函数
x1 x1 ( p 1 , p 2 , m ) x 2 x 2 ( p1 , p 2 , m )
此时的效用函数值（间接效用函数）：
f ai
j
g x j
x j ai
f ai
对于约束条件
g ( x, a ) 0
两边关于 ai 求导，可得
代入上式
(a ) ai f ai
j
g x j
x j ai
g ai
0
g ai
L ( x, a; ) ai
x* x ( a )
v ( p 1 , p 2 , m ) u ( x1 , x1 ) u ( x1 ( p 1 , p 2 , m ), x 2 ( p 1 , p 2 , m ))
* *
构造函数
L ( x , p , m ; ) u ( x1 , x 2 ) ( m p 1 x1 p 2 x 2 )
包络定理（envelope theorem）
包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题
( a ) max f ( x , a )
x
这里，a 是一个参数（外生变量），x 是一向量，我们称φ(a) 为间接目标函数。该最大值问题是在 a 为某一固定值时寻找 适当的 x*，使得函数 f(x, a) 达到最大。显然，若 a 的数值发 生变化时，x* 和目标函数的最大值 f(x*, a) 也会随之而变化。 判断 a 的数值变化时 φ(a)= f[x*(a), a] 变化的大小和方向，
我Baidu Nhomakorabea构造拉格朗日函数
L ( x, a; ) f ( x, a ) g ( x, a )
一阶条件为
L ( x, a; ) x j L ( x, a; ) f x j g x j 0 ( j 1, 2 , , n )
g ( x, a ) 0
利用包络定理，可得
v ( p , m ) m
罗伊恒等式（Roy’s identity）
x1 x1 ( p 1 , p 2 , m )
v ( p1 , p 2 , m ) / p1 v ( p1 , p 2 , m ) / m
7
包络定理的应用之二：成本曲线问题
对于短期成本最小化问题 我们容易得到最优的可变要素投入
x x(a )
*
如果我们得到最优解 则最大值函数
( a ) f ( x ( a ), a )
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数
( a ) f ( x ( a ), a )
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a ) ai
j
f x j
x j ai
L L (w, r; Q )
*
min ( wL r K ) / Q s .t . f ( L , K ) Q
C
K1
K2
LAC (Q )
Q
8