曲线积分与曲面积分习题课

对弧长的曲线积分解题步骤： (1) 写出曲线L方程及相应弧微分公式ds
x ( t ), y ( t ) ( t )
① L为参数方程:
2 2 ds [ ( t )] [ ( t )] dt
② L为直角坐标方程：
y g( x ) (a x b) ds 1 [ g( x )]2 dx

其中α,β,γ为有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量的方 向角.
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三、例题选讲
例1 计算

L
x 2 y 2 d s , 其中L为圆周x 2 y 2 a x .
解 利用极坐标,
ds r 2 r 2 d a d
原式=
L
Pdx Qdy Rdz

利用行列式记号可记为：
dydz dz dx dx dy x y z P Q R


Pdx Qdy Rdz

7
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或：
cos x P cos y Q cos ds z R
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第二类( 对坐标的曲面积分 )
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy

1) 若曲面：z z( x, y), 则
R( x, y, z )dxdy R( x, y, z( x, y ))dxdy
y x
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(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧); (4) 利用斯托克斯公式;
(5) 利用两类曲线积分的联系公式.

L
Pdx Qdy
[ P cos Q cos ]ds
L
其中α,β为有向曲线L上点(x, y)处的切向量的方向角.
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第十章 曲线积分与曲面积分
习题课
基本内容 例题选讲
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1
一、曲线积分的计算法
1.基本方法 曲线积分
第一类 (对弧长)
第二类 (对坐标) 转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
(2) 确定积分上下限 第一类:下小上大 第二类:下始上终
2
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解
所以 原式 a
a
2

2 0
t sin t dt
2
2
t cos t sin t 0
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例4 计算 x yzd z , 其中 由平面y z截球面

x 2 y 2 z 2 1 所得, 从z轴正向看沿逆时针方向.
解 因在 上有 故
若曲面：z z( x, y ), 则


f ( x, y, z )dS
Dxy

2 f ( x, y, z( x, y )) 1 z x z2 y dxdy
Dxy 是 在xoy面上的投影.
如果积分曲面由方程 y y( z , x )或x x( y, z ) 给出, 可类似地把对面积的曲面积分化为相应的 二重积分.
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
P Q R （ )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
高斯公式反映的是空间闭区域Ω上三重积分与其 边界曲面Σ上的曲面积分之间的关系.
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(3) 两类曲面积分的转化
Pdydz Qdzdx Rdxdy [ P cos Q cos R cos ]dS
5
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(2) 利用积分与路径无关的条件 Q P 若 , 则积分只与L的起点与终点有关, x y 故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直 线段(结合P、Q考虑). (3) 利用格林公式(适用于封闭曲线)化为定积分.
Q P ( )dxdy Pdx Qdy x y D L
注: 若曲线L不是封闭的,直接计算又困难, 可考虑添加 辅助曲线C, 使L+C为封闭曲线, 再利用格林公式.
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(4) 利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分).
R Q P R Q P ( )dydz ( )dz dx ( )dx dy y z z x x y
D
2a 0
0d x 2a
2


0
sin t d t a
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例7 求力F ( y , z , x )沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x y z 1 被三个坐标面所截成三角 形的整个边界, 从z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
Dxy
Σ上侧取正号, 下侧取负号.
2) 若曲面：x x( y, z ), 则
P ( x, y, z )dydz P ( x( y, z ), y, z )dydz
D yz
Σ前侧取正号，后侧取负号.
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3) 若曲面：y y( z, x), 则
z

提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
o x
0
y
x d ydz ydzdx z dxd y
0
2 3 3 R 0 2 R3 3
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例9 设 为简单闭曲面,a为任意固定向量, n为 的单位外法向量,证明: cos( n , a )d S 0. 证 设 n (cos , cos , cos )
B
利用对称性
3
3
AB
y d x z d y xdz
xdz
A x
o
C y
AB
3 (1 z )d z
0
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1
24
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
z
B A x
o
n C
y
1
1 3 y z
1 3 dS z x
对坐标的曲线积分计算方法： (1) 直接化为对参变量的定积分
L : x ( t ), y ( t )

L
Pdx Qdy { P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), ( t )] ( t )}dt


注: 下限对起点, 上限对终点
B( t ) A( t )
Q( x, y, z )dzdx Q( x, y( z, x ), z )dzdx
Dzx
Σ右侧取正号，左侧取负号.
注：对于封闭曲面, 可考虑用高斯公式.
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2. 基本技巧
(1) 利用对称性简化计算 (2) 利用高斯公式
注意公式使用条件
添加辅助面的技巧
③ L为极坐标方程：
r r ( ) 1 2 ds r 2 ( r ) 2 d
3
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(2) 将L的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式, 化为定积分, 定出积分限.(注:下限小于上限)

L
f ( x, y )ds

b

2 2 f ( (t ), (t )) [ (t )] [ (t )] dt

0
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z ( x 2)2 ( y 1)2 例10 设 是曲面1 ( z 0), 5 16 9 x d y d z y d z d x zdx d y 取上侧, 计算I . 3 ( x2 y2 z2 )2
a x ds
说明:若用参数方程计算,则
y
o
d s ( x )2 ( y )2 d t
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r
t
ax
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例2 计算曲分 I

2 y 2 z 2 ds, 其中 为球面
x 2 y 2 z 2 a 2与平面 x y 相交的圆周.
解 因在L上有2 y 2 z 2 a 2 ,所以


3 x y
Σ: x y z 1 1 n (1, 1, 1) 3

1
( 3)d S 3

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3 2
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例8 计算 x d y d z y d z d x z d x d y , 其中 为

半球面z R2 x 2 y 2 的上侧.


Pdx Qdy Rdz

注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面闭区域 D(空间曲面Σ)上重积分(曲面积分)与边界曲线 上曲线积分之关系.
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性简化计算; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; 对于曲线积分 L Pdx Qdy ,下面四个条件等价: ① 曲线积分与路径无关. ② 被积表达式是某个函数的全微分. ③ 沿任何闭路线的曲线积分为零. ④ P Q .
z
o x
1y
原式 =
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例5 计算I

源自文库
L
( x 2 y )dx ( y 2 x )d y , 其中L是
沿逆时针方向以原点为中心, a为半径的上半圆周.
解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x , 则
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L B
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法 曲面积分
第一类( 对面积 )
第二类( 对坐标 ) 转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2) 积分元素投影 (3) 确定积分区域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面
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第一类: 始终非负
第二类: 有向投影
计算方法
第一类( 对面积的曲面积分 )
L为参数方程


L
2 f ( x, y )ds f ( x, g( x )) 1 [ g ( x )] dx a
L
f ( x , y )ds
2
L为直角坐标方程
2 f ( r cos , r sin ) r ( r ) d 2

1
L为极坐标方程
4
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则
0 n a d S cos( n ,a )d S



(常向量)
cos cos cos cos cos cos d S
cos d y dz cos dz dx cos dx d y
BA
D
B
o
L
0 dxdy x 2 d x 2 a 3 a 3 D
a
Ax
(利用格林公式)
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例6 计算I (e x sin y 2 y )d x (e x cos y 2)d y,
L
其中L为上半圆周( x a )2 y 2 a 2 , y 0, 沿逆时针方向.
x y a 2 a cos t cos t ( 0 t 2 )
z
2 z a sin t
o
y
x
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例3 计算 (2a y )d x x d y , 其中L为摆线
L
x a( t sin t ) , y a(1 cos t ) 上对应t 从0到2 的一段弧.
o
I ( x 2 y )d x ( y 2 x )dy
AB
Ax


a a
x dx
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2
解法2 添加辅助线段 BA ,它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y )dx ( y x )dy
2 2
2 2
y
C
( x y )dx ( y x )dy
提示:
I e x sin y d x (e x cos y 2)d y 2 y d x
L
L

L AB

AB
2 y d x
L
y
x a (1 cos t ) L: t :0 y a sin t
o A
2
D
a
L
B x
2
23
0d x d y