2.4.2 平面向量数量积的坐标表示0123

x1x2i
2 x1y2i
j x2 y1i
j
2
y1y2 j
x1x2 y1y2
2
2
i 1 j 1
i• j j•i 0
a • b x1x2 y1y2
1.平面向量数量积的坐标运算 :
若
a
(
x1
，y1
)
,
b (x2 ，y2 ) ，则
a • b x1x2 y1y2
即: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2若 b 5 且a 2b与2a b垂直,求a与b的夹角.
2
例5 已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3，5)， 若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
10 , 6 6 , 3 5 5
练习: 已知b＝(1，1)，a·b＝3，|a－b|＝2，
求|a|.
22
再练习： 1.若
，则 与
练习：已知
a
(5,7),
b (6,4), 求 a • b
解： a • b 5 (6) (7) (4)
30 28
2 .
1.平面向量数量积的坐标运算 :
坐标表示：a (x1, y1),b (x2, y2) a • b | a || b | cos
（1）数量积的定义：
a • b x1x2 y1y2
(2)两向量垂直的充要条件：a b a • b 0 a b x1x1 y1y2 0 a // b x1y2 y1x2 0
坐标表示：a (x1, y1),b (x2, y2)
（3）向量长度的表示：| a |
22
a ,(a a • a)
| a | x12 y12
设A(x1, y1), B(x2, y2 ),
注意: 两个向量的数量积是否为零,是判断相应两条 直线是否垂直的重要方法之一.
例3 已知向量a＝(5，－7)，b＝ (－6，－4)，求 向量a 与b的夹角θ（精确到1°）.
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
例4.已知a,b, c是同一平面内的三个向量,其中a 1,2. 1若 c 2 5且c // a求c;
1 cos 2x
②若
0
x
3
求函数f
(x)
ab
的值域.
知识回顾----平面向量的数量积:
几何意义：数量积a • b等于a的长度 | a | 与
b在a方向上的投影 | b | cos的乘积。
4.向量数量积的重要性质：
a,b为非零向量， a,b
(5)
求垂已直a，知与 a a、 b4的bb夹与是角非7。a零向2量b，垂且直a
3b 与7a
5b
解：由(a
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 两点间的距离公式
(4)向量夹角的表示：cos a • b
| a || b |
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
8、 已知向量a (2, cos 2x), b (1,2),
f x a b, x R.
变式训练
1.已知向量a (sin 2 x,m), b (1, cos x),
f
x
a
b
5 8
m
1 2
,
x
0,
2
,
若函数
f x的最大值为1,求m的值.
2.已知 a 2 b 0,且关于x的方程x2 a x a b 0有实根, 则a与b的夹角的范围是
课堂小结：
a // b x1y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1y2 0 二者有着本质区别.
2.若非零向量a与b的夹角为锐角（钝角），则a·b＞0 （＜0），反之不成立. 3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系， 解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可 以考虑用向量方法来解决.
.
向量与几何
例6、已知正方形OABC的边长为1，点D、E
分别为AB、BC的中点,求 cosDOE 的值． 解：以OA和 OC 所在直线为坐标轴建立 直角坐标系，
如图所示. 则由已知条件，可得
OD (1 ,
1) 2
, OE (1 2
,
1)
y
OD • OE 1 1 1 1 1
C
E
B
22
又 | OD | 1 1 5 , | OE | 5 ,
的夹角为（ A ）
（A）
(B)
(C)
(D)
2.已知 则向量 与向量
，向量 与 的夹角为
的夹角为
30
3.已知向量
若
求向量
4.已知
，则与
垂直的单位向量为
(
4 5
,
3) 5
5.已知向量 与 的夹角为
求
b 4
(C )
7.已知平面向量 夹角均
的模均为1，它们相互之间的
(1)求 的表达式；
(2)试画出函数
的图象。
当a·b=0时，三角形ABC是直角三角形 教材P108 习题A组1 ，2，3，6，7，8
2.4.2平面向量数量积的坐标表示
已知 a (x1 ，y1)
b (x2百度文库，y2) ，则
a x1i y1 j
b x2i y2 j
a • b (x1i y1 j ) • (x2i y2 j )
3b ）（7a
5b）得：（a
3b）（ 7a
5b）
0
化即 又简： 由得7(7aa： a22b421b85） bb22a2（ b371且 0a6aa2abbb） 0得0b： （① ②a
4b）（ 7a
2b）
0
cos
a,
a
b
1
b
2
2
a b
b2
b 夹角
1 2
又
60
[0,180]
教材P106
练习 1 ，2，3. 答案： 1题. 24 2题.当a·b<0时，三角形ABC是钝角三角形：
(1) 2；（2）17；（3）－3.
例2: 已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5) 求证: ABC是直角三角形
证明： AB (2 1，3 2) (1，1) AC (2 1，5 2) (3，3)
AB AC 1 ( 3) 1 3 0
AB AC
ABC 是直角三角形 .
1.利用向量方法解决几何问题步骤
已知 条件
向量 形式
向量
解决
运算
问题
2.向量方法在解题中的应用
◇实数与向量的积——共线、平行、长度关系等
◇向量的数量积 —— 长度关系、角度、垂直等
作业： P107练习：1，2. P108习题2.4A组：9，10，11.
例8、已知向量
a ( 3sin x,cosx),b (cosx,cosx),c (2 3,1) ①若 a // c, 求 sin 2x cos2 x 的值；
D
42
2
cos DOE OD OE 4
O
| OD || OE | 5
Ax
P
A
O
B
思考1:运用向量的方法证明勾股定理。
思考2.求函数y x 3 3 12 x的最大值.
证:设 可得
交于 且
.
A
F HE
B
DC
，运算并化简得
与 重合. AD, BE,CF相交于一点H.
你还能用坐标法证明吗?