2019-2020学年高中数学 第三章 第2课 瞬时变化率—导数(曲线上一点处切线)教学案 苏教版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学 第三章 第2课 瞬时变化率—导数（曲线

上一点处切线）教学案 苏教版选修1-1

班级：高二（ ）班 姓名：____________

教学目标：

1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；

2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；

3．理解切线概念的实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转

化问题的能力及数形结合思想．

教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法． 教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率． 教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

如果将点P 附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P 附近看上去有点像是直线．

如果将点P 附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P 附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P 附近将逼近一条确定的直线l ，该直线l 是经过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

因此，在点P 附近我们可以用这条直线l 来代替曲线，也就是说，点P 附近， 曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．

2．探究活动．

如图所示，直线12l l ，为经过曲线上一点P 的两条直线．

试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线； 在点P 附近能作出一条比21,l l 更加逼近曲线的直线

3l 吗？ 在点P 附近能作出一条比

321,,l l l 更加逼近曲线的直线吗？

P P P

二、建构数学

切线定义：如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近逼近曲线C ，当点Q 无限逼近点P 时，

直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线．

思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？

三、数学运用

例1.试求2)(x x f =在点(2,4)处的切线斜率．

小结 求曲线)(x f y =上一点处的切线斜率的一般步骤：

（1）找到定点P 的坐标，设出动点Q 的坐标；

（2）求出割线PQ 的斜率；

（3）当0x ∆→时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．

思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？

解：设))(,()),(,(0000x x f x x Q x f x P ∆+∆+

x x f x x f x x x x f x x f k PQ ∆-∆+=-∆+-∆+=

∴)()()()()(000000

例2．已知

1

)

(-

=x

x

f，求曲线)

(x

f

y=在1-

=

x处的切线斜率和切线方程；

练习1.试求

1

)

(2+

=x

x

f在x＝1处的切线斜率．

练习2.已知

x

x

f=

)

(，求曲线)

(x

f

y=在4

x=处的切线斜率和切线方程．

2.已知曲线y ＝12x2－2上一点P(1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________

3.函数

1y x =-

在点(12

，－2)处的切线方程为________．

4.函数3y x =的图像在

()1,1--处的切线的斜率是

5．判断曲线y ＝x3＋1在点P(－1,0)处是否有切线，如果有，求出切线的方程．