3.1传递函数的时域辨识
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1 1
2
2
只
要求0，) y (t1 可，则
， y (t2 )
这三个数值之间有明显的差异即
1
4
1 y(t ) K 1 e tT 1 t 2 y(t 2 ) K 1 e T , t 2 t1
y 式中 y (t1 ) ， (t2 ) 分别记为 Y1 Y2 。解得
s
(Ts 1) n
一般来说，二阶对象满足： 0.32 t1 t 2 0.46 因为:
t1 t 2 0.32 T2 0， t1 t 2 0.46 T2 T1
二阶环节正是位于这两种情况之间。
1 10
表1
高阶惯性对象
1 (Ts 1) n
中阶数n与比值t1/t2的关系
式中常数T由下式求 得
nT (t1 t2 ) 2.16
取
y (t)为0.4和0.8，再从曲线上定出 t1 , t2 ，然后可从
*
表1中得到n,再根据上式确定T。
1
12
4. 测试响应曲线的步骤
（1）.将响应曲线化为无延迟无量纲的标准形式，参见图2； （2）.求取
*
分别为0.4和0.8所对应的 、 ，根据
1 6
2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数拟合
二阶惯性环节加纯滞后传递函数：
Ke s G( s) , T1 T2 (T1s 1)(T2 s 1)
增益K值按下式计算： y () y (0) K u
时间延迟 可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应 的阶段到开始变化的时刻来确定，见图2。 截去纯延迟部分，并化为无量纲形式的阶跃响应 此时传递函数变成：
t 2 t1 T ln 1 Y ln 1 Y 1 2 1 t 2 ln 1 Y t1 ln 1 Y2 ln 1 Y ln 1 Y2 1
1
5
如果选择
y (t1 ) 0.39
和
y (t2 ) 0.63
仿真结果如图2至4。可见，该算法能非常精确地求出开环传递函数的幅频
和相频,从而可以精确地实现开环传递函数的辨识。
1
22
0
Mag.(dB.)
-10 -20 -30 -40 0 10 -100
1 2
10 rad./s
10
Phase(Deg.)
-120 -140 -160 -180 0 10
1 2
10 rad./s
Ke G ( s) Ts 1
设系统的输入u的变化量为u ，则放大倍数为
y y K u u
1
2
（1） 切线法
在S型曲线的变化速率最快处作一切线，分别与时间轴 t及阶跃相应的渐近线y() 相交于 0, 和 t 0 , y() T 这样便得到时滞 和时间常数 t 0 。
，由式（1）和（2）得：
1 16
由式（1）和（2）得：
c1 Y Ψ c2
由式（3），根据最小二乘原理，可求出 c1
（3）
、 c2 的最小二乘解为： （4）
ˆ 1 c1 T Ψ Ψ ΨT Y c ˆ2
对于角频率
，开环系统输出信号的振幅和相移如下：
(1)
y (t ) A f sin(t ) A f sin(t )cos( ) A f cos(t )sin
(2)
sin(t )
cos(t )
1
A f cos A sin f
15
其中
Af
、 分别为开环系统输出的幅度和相位。
invfreqs 和
freqs
，从而实现开环传递函数的辨识。
1
19
2 仿真实例
取对象的传递函数为：
Gp ( s) 133 s 2 25s 10
采样周期取1ms，即 h 0.001 。输入信号为幅度为 0.5 的正
弦扫频信号 yd t 0.5sin 2πFt ，频率的起始频率为1.0Hz,终止频率 为10Hz，步长为0.5Hz，对每个频率点，运行20000个采样时间，并 记录采样区间为 15000 10000 的数据。
在闭环系统内，采用P控制，控制律为：
u t kp e t
1
29
由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为：
y (t ) A f sin(t ) A f sin(t )cos( ) A f cos(t )sin A cos sin(t ) cos(t ) f A f sin 、 分别为系统输出的幅度和相角。
Step Response 3
,
2.5
2
Amplitude
1.5
y K u
y
1
0.5
u
0
0
T
5
Time (sec.)
1
10
15
3
参数
和
T
的这种求解方法也可称为图解法，其优点
是特别简单。但对于一些实际响应曲线，寻找该曲线的最 大斜率处并非易事，主观因素两个坐标值 t , y(t ) 和 t , y(t ) ，
的值来确定n。 y (t)
（3）.若 迟传递函数。 t1 t 2 0.46 0.32 （4）.若
t1 t 2 0.46 值选用传递函数
t t
1
2
t1 t 2
，则可选用二阶惯性环节加纯延
，则根据表一找其相近的数据对应的n ，式中T由
K G( s) (Ts 1) n
1
求得。
nT (t1 t2 ) 2.16
这两个固定值，那
2
么 T 和 可化为
2t1 t2
T ， 2(t
t1 )
。显然这时
的计算非常简单。
对于所计算的 T 和 ，还可在
t3 y (t3 ) 0
t4 0.8T
t5 2T
y(t4 ) 0.55
y (t5 ) 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
1
（7） （8）
c2 c2 Af 1 2 M 20 Lg 20 Lg Am Am
1
18
在待测量的频率段取角频率序列
i i 0,1,, n
，对每个角频率
点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到开环系统的频率特性数据，利 用Matlab频域函数
1
20
求出实际开环系统在各个频率点的相频和幅频后，可写出开环
系统频率特性的复数表示，即 hp M cos e j sin e 。
取 w 2πF ，利用Matlab函数 invfreqs hp , w, nb, na ，可得 到与复频特性 hp 相对应的、分子分母阶数分别为 nb 和 na 的
t、 t
1
2
代入上式可得所需
9
1
为求解方便，上式可以近似表示为：
T1 T2 (t 2 t1 ) 2.16 2 T1T2 (T1 T2 ) 1.74t1 t 2 0.55
在固定选取分别为0.4和0.8后，其对应的 t1 t 2 能够反映出 Ke 的传递函数的阶次 ，其关系见表1。 G( s)
1 27
由闭环系统的正弦激励响应，通过最小 二乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传 递函数。闭环系统测试框图如图1所示。
图1 闭环系统测试框图
1 28
设闭环系统输入指令信号为：
yd t Amsin(t )
其中
(1)
、 Am
分别为输入信号的幅度和角频率。
位置跟踪误差为：
e t yd t y t
开环系统辨识仿真程序
chap9_12a.m chap9_12b.m
1
26
3.3 闭环系统传递函数的辨识
3.3.1 基本原理
针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的 方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免 产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是 采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域 辨识技术来确定闭环系统的传递函数。
13
3.2 线性系统开环传递函数的辨识
1 基本原理 可通过Bode图拟合来辨识开环传递函数，开环传递函数测试框图如图1 所示。
图1 电机开环传递函数测试框图
1
14
设开环系统输入指令信号为：
其中 、 分别为输入信号的幅度和角速度。 d m 假设开环系统是线性的，则其位置输出可表示为：
Am
y t A sin(t )
n 1 2 3 4 5 6 7
t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67
n 8 9 10 11 12 13 14
t1/t2 0.685 0.71 0.735 0.75
1
11
3.用n阶惯性加纯迟延的传递函数拟合
若 t1 t 2 0.46，需用高阶环节近似
K G( s) (Ts 1) n
y (t1)] 和 [t 2
*
*
T1 T2 t1 /T1 e e t1 /T2 0.6 T1 T2 T1 T2 T1 T2 t 2 /T1 e e t 2 /T2 0.2 T1 T2 T1 T2
将 y (t)所取两点查得到的 的 T1 、 2 。 T
*
（2）
其中
Af
在时间域上取 t 0, h, 2h,, nh
， 并设
YT y (0)
ˆ ˆ2 Af c12 c2
c2 tg c1 1
1
（5）
（6）
17
由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅 与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号
yd A msin(t )
的
相移为零，则开环系统的相频和幅频为：
e out
c2 in 0 tg c1
传递函数的分子分母系数 bb 和 aa ，从而得到开环系统辨识的
传递函数。利用Matlab函数 freqs bb, aa, w ，可得到分子分母 阶数分别为 bb 和 aa 的开环传递函数的复频表示，从而得到所拟
合开环系统传递函数的相频和复频。
1
21
通过仿真，可得开环传递函数为：
131.3 Gc ( s) 2 s 24.28s 10.08
1
24
Bode Diagram 40 20
Magnitude (dB) Phase (deg)
0 -20 -40 -60 -80 0 -45 -90 -135 -180 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Frequency (rad/sec)
图4 实际对象与拟合传递函数的Bode图比较
1
25
t 0, h, 2h,, nh
在时间域上取
，并设
YT y (0)
y (h) y(nh)
sin( w0) sin( wh) sin( wnh) Ψ cos( w0) cos( wh) cos( wnh)
T
c1 A f cos
c2 A f sin
10
图2 实际测试与拟合传递函数的Bode图比较
1
23
0.3
Mag.(dB.)
0.2 0.1 0 -0.1 1.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
Phase(Deg.)
1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
图3 频率特性拟合误差曲线
第3章 传递函数的时域和频域辨识
3.1 传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法、脉
冲响应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应
法最为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系
统传递函数进行辨识，阶跃响应曲线即为输入量
作为阶跃变化时，系统输出的变化曲线。
1 1
1、一阶惯性滞后环节的辨识
s
y (t )
*
1 G( s) , T1 T2 (T1s 1)(T12 s 1)
7
图2 根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定 T1 和 T2
1 8
对应的阶跃响应为：
T1 T2 t /T1 y (t) 1 e e t /T2 T1 T2 T2 T1
*
y (t 2)] 根据上式可利用响应曲线上的两个数据点 [t1 * 确定参数 T1和 T 2 ，一般取 y (t) 为0.4和0.8，再从曲线上定 t 1 出 t 2 和 ，然后可得：
2
2
只
要求0，) y (t1 可，则
， y (t2 )
这三个数值之间有明显的差异即
1
4
1 y(t ) K 1 e tT 1 t 2 y(t 2 ) K 1 e T , t 2 t1
y 式中 y (t1 ) ， (t2 ) 分别记为 Y1 Y2 。解得
s
(Ts 1) n
一般来说，二阶对象满足： 0.32 t1 t 2 0.46 因为:
t1 t 2 0.32 T2 0， t1 t 2 0.46 T2 T1
二阶环节正是位于这两种情况之间。
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表1
高阶惯性对象
1 (Ts 1) n
中阶数n与比值t1/t2的关系
式中常数T由下式求 得
nT (t1 t2 ) 2.16
取
y (t)为0.4和0.8，再从曲线上定出 t1 , t2 ，然后可从
*
表1中得到n,再根据上式确定T。
1
12
4. 测试响应曲线的步骤
（1）.将响应曲线化为无延迟无量纲的标准形式，参见图2； （2）.求取
*
分别为0.4和0.8所对应的 、 ，根据
1 6
2.由二阶惯性加纯迟延的传递函数拟合
二阶惯性环节加纯滞后传递函数：
Ke s G( s) , T1 T2 (T1s 1)(T2 s 1)
增益K值按下式计算： y () y (0) K u
时间延迟 可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应 的阶段到开始变化的时刻来确定，见图2。 截去纯延迟部分，并化为无量纲形式的阶跃响应 此时传递函数变成：
t 2 t1 T ln 1 Y ln 1 Y 1 2 1 t 2 ln 1 Y t1 ln 1 Y2 ln 1 Y ln 1 Y2 1
1
5
如果选择
y (t1 ) 0.39
和
y (t2 ) 0.63
仿真结果如图2至4。可见，该算法能非常精确地求出开环传递函数的幅频
和相频,从而可以精确地实现开环传递函数的辨识。
1
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0
Mag.(dB.)
-10 -20 -30 -40 0 10 -100
1 2
10 rad./s
10
Phase(Deg.)
-120 -140 -160 -180 0 10
1 2
10 rad./s
Ke G ( s) Ts 1
设系统的输入u的变化量为u ，则放大倍数为
y y K u u
1
2
（1） 切线法
在S型曲线的变化速率最快处作一切线，分别与时间轴 t及阶跃相应的渐近线y() 相交于 0, 和 t 0 , y() T 这样便得到时滞 和时间常数 t 0 。
，由式（1）和（2）得：
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由式（1）和（2）得：
c1 Y Ψ c2
由式（3），根据最小二乘原理，可求出 c1
（3）
、 c2 的最小二乘解为： （4）
ˆ 1 c1 T Ψ Ψ ΨT Y c ˆ2
对于角频率
，开环系统输出信号的振幅和相移如下：
(1)
y (t ) A f sin(t ) A f sin(t )cos( ) A f cos(t )sin
(2)
sin(t )
cos(t )
1
A f cos A sin f
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其中
Af
、 分别为开环系统输出的幅度和相位。
invfreqs 和
freqs
，从而实现开环传递函数的辨识。
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2 仿真实例
取对象的传递函数为：
Gp ( s) 133 s 2 25s 10
采样周期取1ms，即 h 0.001 。输入信号为幅度为 0.5 的正
弦扫频信号 yd t 0.5sin 2πFt ，频率的起始频率为1.0Hz,终止频率 为10Hz，步长为0.5Hz，对每个频率点，运行20000个采样时间，并 记录采样区间为 15000 10000 的数据。
在闭环系统内，采用P控制，控制律为：
u t kp e t
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由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为：
y (t ) A f sin(t ) A f sin(t )cos( ) A f cos(t )sin A cos sin(t ) cos(t ) f A f sin 、 分别为系统输出的幅度和相角。
Step Response 3
,
2.5
2
Amplitude
1.5
y K u
y
1
0.5
u
0
0
T
5
Time (sec.)
1
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3
参数
和
T
的这种求解方法也可称为图解法，其优点
是特别简单。但对于一些实际响应曲线，寻找该曲线的最 大斜率处并非易事，主观因素两个坐标值 t , y(t ) 和 t , y(t ) ，
的值来确定n。 y (t)
（3）.若 迟传递函数。 t1 t 2 0.46 0.32 （4）.若
t1 t 2 0.46 值选用传递函数
t t
1
2
t1 t 2
，则可选用二阶惯性环节加纯延
，则根据表一找其相近的数据对应的n ，式中T由
K G( s) (Ts 1) n
1
求得。
nT (t1 t2 ) 2.16
这两个固定值，那
2
么 T 和 可化为
2t1 t2
T ， 2(t
t1 )
。显然这时
的计算非常简单。
对于所计算的 T 和 ，还可在
t3 y (t3 ) 0
t4 0.8T
t5 2T
y(t4 ) 0.55
y (t5 ) 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
1
（7） （8）
c2 c2 Af 1 2 M 20 Lg 20 Lg Am Am
1
18
在待测量的频率段取角频率序列
i i 0,1,, n
，对每个角频率
点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到开环系统的频率特性数据，利 用Matlab频域函数
1
20
求出实际开环系统在各个频率点的相频和幅频后，可写出开环
系统频率特性的复数表示，即 hp M cos e j sin e 。
取 w 2πF ，利用Matlab函数 invfreqs hp , w, nb, na ，可得 到与复频特性 hp 相对应的、分子分母阶数分别为 nb 和 na 的
t、 t
1
2
代入上式可得所需
9
1
为求解方便，上式可以近似表示为：
T1 T2 (t 2 t1 ) 2.16 2 T1T2 (T1 T2 ) 1.74t1 t 2 0.55
在固定选取分别为0.4和0.8后，其对应的 t1 t 2 能够反映出 Ke 的传递函数的阶次 ，其关系见表1。 G( s)
1 27
由闭环系统的正弦激励响应，通过最小 二乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传 递函数。闭环系统测试框图如图1所示。
图1 闭环系统测试框图
1 28
设闭环系统输入指令信号为：
yd t Amsin(t )
其中
(1)
、 Am
分别为输入信号的幅度和角频率。
位置跟踪误差为：
e t yd t y t
开环系统辨识仿真程序
chap9_12a.m chap9_12b.m
1
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3.3 闭环系统传递函数的辨识
3.3.1 基本原理
针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的 方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免 产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是 采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域 辨识技术来确定闭环系统的传递函数。
13
3.2 线性系统开环传递函数的辨识
1 基本原理 可通过Bode图拟合来辨识开环传递函数，开环传递函数测试框图如图1 所示。
图1 电机开环传递函数测试框图
1
14
设开环系统输入指令信号为：
其中 、 分别为输入信号的幅度和角速度。 d m 假设开环系统是线性的，则其位置输出可表示为：
Am
y t A sin(t )
n 1 2 3 4 5 6 7
t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67
n 8 9 10 11 12 13 14
t1/t2 0.685 0.71 0.735 0.75
1
11
3.用n阶惯性加纯迟延的传递函数拟合
若 t1 t 2 0.46，需用高阶环节近似
K G( s) (Ts 1) n
y (t1)] 和 [t 2
*
*
T1 T2 t1 /T1 e e t1 /T2 0.6 T1 T2 T1 T2 T1 T2 t 2 /T1 e e t 2 /T2 0.2 T1 T2 T1 T2
将 y (t)所取两点查得到的 的 T1 、 2 。 T
*
（2）
其中
Af
在时间域上取 t 0, h, 2h,, nh
， 并设
YT y (0)
ˆ ˆ2 Af c12 c2
c2 tg c1 1
1
（5）
（6）
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由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅 与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号
yd A msin(t )
的
相移为零，则开环系统的相频和幅频为：
e out
c2 in 0 tg c1
传递函数的分子分母系数 bb 和 aa ，从而得到开环系统辨识的
传递函数。利用Matlab函数 freqs bb, aa, w ，可得到分子分母 阶数分别为 bb 和 aa 的开环传递函数的复频表示，从而得到所拟
合开环系统传递函数的相频和复频。
1
21
通过仿真，可得开环传递函数为：
131.3 Gc ( s) 2 s 24.28s 10.08
1
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Bode Diagram 40 20
Magnitude (dB) Phase (deg)
0 -20 -40 -60 -80 0 -45 -90 -135 -180 10
-2
10
-1
10
0
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1
10
2
10
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Frequency (rad/sec)
图4 实际对象与拟合传递函数的Bode图比较
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t 0, h, 2h,, nh
在时间域上取
，并设
YT y (0)
y (h) y(nh)
sin( w0) sin( wh) sin( wnh) Ψ cos( w0) cos( wh) cos( wnh)
T
c1 A f cos
c2 A f sin
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图2 实际测试与拟合传递函数的Bode图比较
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0.3
Mag.(dB.)
0.2 0.1 0 -0.1 1.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
Phase(Deg.)
1 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 rad./s 40 50 60 70
图3 频率特性拟合误差曲线
第3章 传递函数的时域和频域辨识
3.1 传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域方法包括阶跃响应法、脉
冲响应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应
法最为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系
统传递函数进行辨识，阶跃响应曲线即为输入量
作为阶跃变化时，系统输出的变化曲线。
1 1
1、一阶惯性滞后环节的辨识
s
y (t )
*
1 G( s) , T1 T2 (T1s 1)(T12 s 1)
7
图2 根据阶跃响应曲线上的两个点的数据确定 T1 和 T2
1 8
对应的阶跃响应为：
T1 T2 t /T1 y (t) 1 e e t /T2 T1 T2 T2 T1
*
y (t 2)] 根据上式可利用响应曲线上的两个数据点 [t1 * 确定参数 T1和 T 2 ，一般取 y (t) 为0.4和0.8，再从曲线上定 t 1 出 t 2 和 ，然后可得：