非线性模态分析

摘要：接触分析和模态分析是结构分析的重要内容之一。

利用ANSYS 的接触分析功能和APDL 语言的用户接口，将ANSYS 的模型数据输出到用户分析模块中完成非线性的接触模态分析，然后将计算结果读回，利用ANSYS 的后处理模块将计算结果显示出来，实现了ANSYS 平台上的接触模态分析，使ANSYS 能够更好地完成结构系统级的性能分析。

关键词：ANSYS，接触，模态
1 前言
机械系统的特点是由多个零件通过各种方式联接起来的一个系统。

机械系统的性能分析除了零件的性能分析以外，零件之间的联接特性的分析也是一个重要方面。

零件之间的联接性能分析，本质是一个接触问题的分析，是机械结构非线性分析的一种典型类型。

线性系统的模态分析技术是了解线性结构振动特性的一个重要手段，已经广泛应用在结构动力修改、优化设计、故障诊断、状态检测等诸多领域。

近年来，以非线性动力学理论为基础的非线性模态分析逐渐成为非线性振动研究中的热点之一。

其原因是机械工程中存在着大量的非线性问题，传统的线性模态分析技术无法得到准确的结果。

解决机械系统中的非线性问题，首先要面对的就是如何处理结构间的非线性的接触问题。

非线性模态（NNMs）理论是线性模态理论的自然发展，最初是由美国加州大学伯克利分校的Rosenberg[1] 等人引入的，主要研究离散、无阻尼非线性系统的自由振动。

1991年，Shaw 和Pierre[2] 引用动力系统理论中不变流形（invariant manifold）的概念来定义非线性模态，将非线性模态定义为系统相空间中二维不变流形上的运动。

这一开创性的工作，将该领域的研究带入了一个新的发展阶段。

Shaw 和Pierre 定义的非线性模态既可用于保守系统，也可用于非保守系统。

在文献[3] 中他们指出，当系统存在内共振关系时，应将不变流形的维数提高到四维。

1994 年，Nayfeh 针对内共振非线性系统提出了复不变流形方法[4]。

陈予恕、吴志强[5,6]认为非线性模态为系统相空间中偶数维不变流形上的运动。

他们将求解非线性动力系统的规范型（Normal Form）方法直接用于非线性模态的构造，得到的模态上的动力学方程（即模态振子）具有Normal Form 形式。

由于系统非线性因素的控制难度较大，利用实验手段研究非线性模态的文献并不多见。

目前采用的方法中，大多是寻求非线性模态的近似解析解，因此离散系统的自由度一般不超过 3 个，否则，人工计算的难度过大。

而对于连续系统而言，离散化后得到的模型往往具有很高的自由度。

所以随着计算机技术的不断发展，借助于计算机的数值分析方法使分析高维系统成为可能，利用数值分析方法研究非线性模态越来越受到关注。

文献[7] 介绍了一个基于不变流形方法计算非线性模态的计算机程序，其研究对象是利用有限元技术对一个平面结构离散化后得到的有限自由度系统，这意味着可以采用同样的方法处理更复杂的三维系统。

文献[8] 基于多尺度方法借助计算机数值分析，研究了一个悬臂梁的有限元模型的非线性模态。

[9]
2 非线性模态的分析流程
ANSYS 软件具有较好的接触建模、分析能力，线性模态的分析能力以及完善的基于APDL 语言的用户接口。

我们在多年接触分析和非线性模态分析研究的基础上，开发了
一个基于ANSYS 平台的非线性模态分析求解器NLMA，可以用于完成含有接触问题的机械系统的模态分析。

该求解器用ANSYS 的前处理器建立分析模型，计算结果导入ANSYS 的后处理中显示出来。

利用NLMA 进行非线性模态分析的流程。

在ANSYS 的前处理器中建立的分析模型要首先提交给ANSYS 的静态分析求解器进行预分析，试算，考核模型的完整性，确保分析模型的正确。

预分析通过后，将建立的模型数据输出到中间文件中，NLMA 从中间文件中读入模型数据，进行非线性模态的计算。

计算结果输出到另外一个中间文件中，通过这个中间文件，计算结果可以导入到ANSYS 的后处理器中或者其它的通用数据处理软件中，如Tecplot，Excel 等等。

实际使用中，ANSYS 通常用来做机械结构的振型显示，数据曲线则用Tecplot，Excel 显示。

分析过程中的数据转换工作主要由APDL语言编写的主控程序实现，用C++编写的NLMA 作为一个外部模块由主控程序调用，计算过程在后台完成，整个分析工作可以不脱离ANSYS 平台。

3 应用实例
3.1 悬臂梁的碰撞模态分析
为了考核NLMA 的非线性模态分析效果，建立了三个模型进行模态分析，然后对结果进行比较：用子空间迭代法求解悬臂梁的模态，用NLMA 求解悬臂梁的模态，用NLMA 求解带有接触的悬臂梁的模态。

图2 是在ANSYS 中建立的平面悬臂梁模型，左端固结，结点11 和12 之间加点－点接触单元。

结点12 固结，结点11 向上运动时不受限制，向下运动会跟结点12 碰撞。

通过设定接触参数，初始状态下两个结点刚好接触。

求结构线性模态时，删除12 结点和相应的接触单元。

图2 悬臂梁的模型
图3 是ANSYS 的子空间迭代法计算的振型和固有频率。

图4 是NLMA 计算的振型和频率，模型中不包括接触单元。

图5 是模型中包含接触单元时NLMA 计算的振型和频率。

三个图中，横轴反映图2 中各结点的横坐标，纵轴表示归一化后的结点模态幅值。

比较图3 和图4，振型和固有频率基本相同，最大相对误差仅为2.67%，出现在第一阶频率上，说明NLMA 能够较好地进行线性系统的模态分析。

图5 是模型中包含接触单元时利用NLMA 进行的非线性模态分析。

振型与图3 和图4 的基本相同，但是第一阶频率上升了94.7%，其它频率则与线性模型基本相同。

图6 和图7 是针对非线性模型做的进一步分析。

该分析仍然利用图2 所示的模型，在梁中部施加一个冲击载荷，利用ANSYS 计算梁的冲击响应谱。

图6 是包含接触单元时悬臂梁右端的冲击响应谱，图7 是不包含接触单元时的冲击响应谱。

比较这两个图可以发现，图6 中的第一个共振峰的频率确实提高了，这与NLMA 的计算结果一致，而且非线性模型的响应谱中，高频部分的共振峰值有升高的趋势，线性模型中幅值很低的一些高频成份也被激发起来。

3.2 并联机构的接触模态分析
图8，9，10 是利用NLMA 在ANSYS 平台上完成的一台并联机床的非线性模态分析结果。

模型中考虑了主要零件之间的接触特性，尤其是三个支链上各转动关节的转动特性。

4 结论
接触问题的模态分析是机械系统动态性能分析的一个重要内容，NLMA 与ANSYS 相结合，能够分析包含接触的机械系统的模态。

事实上，NLMA 的非线性模态分析算法本身并不只限于分析接触问题，与ANSYS 的多物理场分析相结合，可以分析更广泛的非线性模态问题，例如包含塑性的非线性模态分析，强非线性，大阻尼以及流固耦合中的结构非线性模态分析等等。

由于目前对非线性模态问题的认识并不充分，NLMA 与ANSYS 相结合的分析技术也可以作为一个探索非线性模态性质的有力工具。

[参考文献]
[1] Rosenberg R. M，Atkinson C. P． On the natural modes and their stability in nonlinear two degrees of freedom systems [J]． Journal of Applied Mechanics，
1959，26：377-385．
[2] Shaw S W，Peirre C．Nonlinear normal modes and invariant manifolds [J]．Journal of Sound and Vibration，1991，150 (1)：170-173．
[3] Boivin N，Pierre C，Shaw S W．Nonlinear modal analysis of structural systems featuring internal resonance [J]．Journal of Sound and Vibration，1995，182 (2)：336-341．
[4] Nayfeh A H，Nayfeh S A．On nonlinear modes of continuous systems [J]．Journal of Vibration and Acoustics，1994，116：129-136．
[5] 吴志强，陈予恕．非线性模态的分类和新的求解方法 [J]．力学学报，1996，28 (3)：298-307．
[6] 陈予恕，吴志强．非线性模态理论的研究进展 [J]．力学进展，1997，27 (3）：289-300．
[7] Soares M E S， Mazzilli C E N．Nonlinear normal modes of planar frames discretized by the finite element method [J]．Computers and Structures，2000，77 (5)：485-493．
[8] Mazzilli C E N，Baracho Neto O G P．Evaluation of non-linear normal modes for finite-element models [J]．Computers and Structures，2002，80(11）：957-965．[9] 李欣业，陈予恕，吴志强. 非线性模态理论及其研究进展[J]. 河北工业大学学报, 2004,33(4)：19－26。